Kann diese Mathe Aufgabe jemand lösen?
Ein winziger nacht-aktiver Käfer beschloss eines Abends, einen Mammutbaum hochzuklettern. Der Baum war zu diesem Zeitpunkt genau 100 m hoch. In jeder Nacht schaffte der Käfer eine Strecke von 10 cm. Der Baum wuchs aber an jedem Tag gleichmäßig 20 cm entlang seiner gesamten Länge.
Erreichte der Käfer irgendwann die Spitze des Baumes? Und wenn ja, wie viele Nächte brauchte er?
6 Antworten
Lustig, wie hier über die Frage diskutiert wird, ob der Baum jetzt oben oder unten wächst, wenn in der Aufgabenstellung eindeutig steht:
Der Baum wuchs aber an jedem Tag gleichmäßig 20 cm entlang seiner gesamten Länge.
Der Käfer erreicht also am Ende der ersten Nacht die Höhe h1 = 10cm. Bei Sonnenaufgang ist er noch 99,90m von der Spitze entfernt.
Der Baum wächst während des Tages um 20 cm, d.h. als die Sonne untergeht, ist er 100,20m hoch. Und da der Baum gleichmäßig über die ganze Länge wächst, erwacht der Käfer nicht mehr auf der Höhe h1 = 10cm, sondern jetzt auf 10cm + (10cm/100m) * 20cm = 10cm + 0,2mm = 10,02 cm.
Der Käfer klettert während der Nacht weiter, bei Sonnenaufgang erreicht er h2 = 10,02cm + 10cm = 20,02cm und schläft ein.
Der Baum wächst wieder gleichmäßig, der Käfer erwacht jetzt abends auf 20,02cm + (20,02cm/100,2m) * 20cm = 20,0599601cm.
Ich bin jetzt gerade zu faul, das in eine Formel zu gießen, aber überschlagsweise dauert es etwa 8 Jahre, bis das Käferchen oben ankommt (falls es so lange lebt....)
Die Formel zur Berechnung der benötigten Zeit t in Jahren lautet:
t = (10000/3 - 100)/(2/3)
t = 8.74520547945 Jahre
Hierbei wird die Höhe des Baumes (100 m) in Zentimeter umgerechnet und die Strecke, die der Käfer jede Nacht zurücklegt (10 cm), subtrahiert. Außerdem wird die Wachstumsgeschwindigkeit des Baumes pro Nacht (20 cm) in Zentimeter pro Nacht umgerechnet und durch die Strecke, die der Käfer zurücklegt, geteilt, um zu berechnen, wie viele Nächte der Käfer braucht, um aufzuholen. Die Gesamtzeit t wird schließlich durch 365 Tage geteilt, um die Antwort in Jahren zu erhalten.
Zunächst wird die Höhe des Baumes in Zentimeter umgerechnet:
100 m = 10000 cm
Dann wird berechnet, wie viele Zentimeter der Baum während einer Nacht wächst:
20 cm / 1 Nacht = 20 cm/Nacht
Das bedeutet, dass der Käfer jede Nacht 10 cm klettert und der Baum um 20 cm wächst. Die effektive Höhe, die der Käfer noch besteigen muss, ist also 10000 cm - 10 cm = 9990 cm.
Nun muss berechnet werden, wie viele Nächte der Käfer braucht, um die restliche Strecke von 9990 cm zu klettern, während der Baum um 20 cm pro Nacht wächst. Dazu wird die effektive Wachstumsgeschwindigkeit des Baumes pro Nacht berechnet:
20 cm/Nacht - 10 cm/Nacht = 10 cm/Nacht
Es dauert also 9990 cm ÷ 10 cm/Nacht = 999 Nächte, bis der Käfer die Spitze des Baumes erreichen würde.
Um dies in Jahre umzurechnen, wird diese Zeit durch 365 Tage geteilt:
999 Nächte ÷ 365 Tage/Jahr = 2.73287671233 Jahre
Dies ist jedoch nur die Zeit, die der Käfer benötigen würde, wenn der Baum nicht weiter wachsen würde. Da der Baum jedoch weiter wächst, muss die Zeit berechnet werden, die der Käfer benötigt, um die zusätzliche Höhe zu erklimmen:
(20 cm/Nacht ÷ 10 cm/Nacht) x 999 Nächte = 1998 Nächte
Diese Zeit muss zur ursprünglichen Zeit addiert werden, um die Gesamtzeit zu erhalten:
999 Nächte + 1998 Nächte = 2997 Nächte
Um dies in Jahre umzurechnen:
2997 Nächte ÷ 365 Tage/Jahr = 8.74520547945 Jahre
Somit würde der Käfer 8.74520547945 Jahre brauchen, um die Spitze des Baumes zu erreichen, wenn er jeden Abend 10 cm klettert und der Baum um 20 cm pro Nacht wächst.
Naja, der Baum wächst, indem der Stamm praktisch immer weiter nach oben geschoben wird. Wenn sich der Käfer ganz unten dranhaftet, ist es egal, wie viel der Baum wächst, weil der Käfer dann trotzdem immer gleich weit von der Spitze entfernt bleiben wird. Für die Anzahl der Nächte gilt:
10cm pro Nacht, das entspricht 0,1m pro Nacht. Der Baum ist 100m hoch. Nehmen wir beide Zahlen mal 10, um das Komma wegzubekommen, haben wir 1m pro Nacht und eine Baumhöhe von 1000m. Das ganze kommt in eine Gleichung, wo x für die Anzahl der Nächte steht:
1*x = 1000
Ist dasselbe wie
x=1000
Also 1000 Nächte
Bäume wachsen über die ganze Stammlänge, aber oben bedeutend schneller als unten. Unten fast nicht messbar. Je älter das Holz, umso geringer das Wachstum. Also je weiter der Käfer nach oben klettert, umso mehr kommt er in die Region, wo der Baum immer schneller wächst.
So weit ich weiß wächst der Baum unten und schiebt seinen Stamm vor sich her. Da der Käfer auf dem Stamm sitzt, wächst der Baum hinter ihm. Er kann also ganz normal den Baum hochgehen. Nur sein Rückweg ist länger.
Wenn du es so grob überschlägst und auf 8 Jahre kommst, liegst du fast richtig um genau zu sein braucht er 8.74520547945 Jahre bis er oben angekommen ist.
Ich wusste die Antwort schon, wollte sehen wer im Stande ist zurechnen.
Endlich hat es einer Geschafft.