Ist das in Ordnung wenn man in einer Bewerbung nur den Wohnort schreibt und nicht die Adresse?

Nein, da gehört auch die Adresse (Wohnort) hin.

Ja, die vollständige kann man weglassen. Würde aber wenigstens den Ort mit Postleitzahl angeben

Wenn die Bewerbung z.B. per E-Mail verschickt wird, wäre es o.k.

Bewerbung per Post, macht das Weglassen der vollständigen Andresse nur Sinn, wenn Du keine Antwort erhalten willst.

Dann soll man sich wohl fragen, wie dein Firma dich schriftlich erreichen kann.

Ohne genauere Kontaktdaten braucht kein Personaler sich damit beschäftigen

Nein, in eine Bewerbung gehört deine vollständige Adresse. Wenn sich bei mir jemand mit unvollständigen Unterlagen bewirbt, ist er/sie direkt disqualifiziert.