Integration durch Euler Substitution?
Moin,
ich hab keine Ahnung wie es funktioniert, im Skript wird es nicht erwähnt und in den Aufgaben wird es vorausgesetzt 🤷🏽😅
vllt kann’s mir jemand anhand vom Bsp erklären:
Danke 🙏
2 Antworten
x^2 + 2x +2 = (x + 1)^2 + 1
dann u = x + 1, du = 1
f(u)=1/[u*Wurzel (u²+1)] hat als Stammfunktion
F(u)=ln |(1+Wurzel (u²+1))/u]+C. Die Substitution führt also zu einer bekannten Stammfunktion.
Man substituiert (nach Euler)
Wurzel(x² + 2x + 2) = x + t,
hat also (quadrieren und nach x auflösen) x= (t^2 - 2)/(2 (1 - t))
Für die Substitution ist dann
dx/dt = (-t^2 + 2 t - 2)/(2 (1 - t)^2)
Dieses, die Wurzel und x+1 einsetzten:
(-t^2 + 2 t - 2)/(2 (1 - t)^2) / ((t^2 - 2)/(2 (1 - t)) + 1) / ((t^2 - 2)/(2 (1 - t)) +t)
= 2/((t - 2) t)
Über eine Partialbruchzerlegung kommt man dann auf Logarithmen in der Stammfunktion,
log(2 - t) - log(t)
x^2 + 2x +2 = (x + 1)^2 + 1 versteh ich, aber die wurzel steht ja immer noch drüber?
und ich will ja den ganzen Bruch integrieren nicht nur diesen Ausdruck?