Integralrechnung Trick: Verschieben?

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3 Antworten

Das geht deutlich einfacher (und gilt auch viel allgemeiner als von blaah betrachtet). Ich gebe mal keinen einzelnen Fisch, sondern die Angel.


Die Verschiebung der Funktion f(x) um 1 nach links (also um -1) ergibt die Funktion

g(x) = f(x -(-1)) = f(x+1) =

4(x+1) - (x+1)² -3 =

4x +4 -x² -2x -1 -3 =

-x² +2x.


Dieser Zusammenhang ist nicht von der Form des Funktionsterm abhängig: Eine um a in x-Richtung verschobene Funktion f(x) hat stets den Funktionsterm f(x -a), wobei es sich graphisch

  • bei a > 0 um eine Verschiebung nach rechts handelt,
  • bei a < 0 um eine Verschiebung nach links;

die Veränderung zu x -a ist ein bisschen "genau andersherum, als man erwarten würde."


Solche Verschiebungen ändern nichts am Inhalt der Fläche F der anfänglichen Fragestellung, die

  • vom Graphen der Funktion f(x),
  • zwei y-Parallelen x = 1 und x = 3 und
  • der Strecke zwischen den Punkte (1 | 0) , (3 | 0)

begrenzt wird. Die verschobene Fläche wird

  • vom Graphen der Funktion g(x) = f(x+1),
  • zwei y-Parallelen x = 1-1 = 0 und x = 3 -1 = 2 und
  • der Strecke zwischen den Punkte (0 | 0) , (2 | 0)

begrenzt und ist zu F kongruent.- Die Vereinfachung besteht darin, dass g(0) = 0 ist, was sich beim Integrieren auf die zu verwendende Stammfunktion G(x) fortsetzt:

G(x) = ∫ g(x)dx = x² -x³/3 + C

F = G(2) - G(0) =

2² - 2³/3 - 0 (hier wird es einfacher) =

4/3


Entsprechend lassen sich beliebige bestimmte Integrale an die y-Achse "ranschieben", und das ist vorteilhaft, wenn der Rechenaufwand zu Bestimmung von g(x) = f(x -a) nicht zu groß ist.

blaah 30.06.2014, 17:56

Du hast Recht, ich hab ein bisschen kompliziert gedacht :D

0

f(x) = 4x-x²-3 = (-4)+4x-x²+1= -1* ( 4-4x+x²-1) = -1* ((2-x)²+1)

An dieser umgeformten Formel kannst du nun erkennen, dass es sich um eine Normalparabel handeln muss, die an der x-Achse gespiegelt ist, um zwei nach rechts und um eine Einheit nach oben verschoben ist.

Nun möchte man, dass der Graph durch den Nullpunkt verläuft. Dazu muss dieser um eine Einheit nach links verschoben werden (Zeichne den Graph mal, dann siehst du es ganz gut. )

Entsprechend lautet die Gleichung dann :

g(x)= -1* ((1-x)²+1)

Jetzt muss man diese nur noch umformen, dass sie genauso ausschaut wie die von dir oben geschriebene Gleichung.

g(x) = -1((1-x)²+1) = -1(1²-2x+x²-1)=-1(1-2x+x²-1)=-1(-2x+x²)=2x-x²

Ich hoffe, ich konnte helfen :)

Wenn man in einer Funktionsgleichung x durch x + 1 ersetzt, so verschiebt sich das Schaubild um 1 Einheit nach links.

Also g(x) = f(x + 1) = 4(x + 1) - (x + 1)² - 3 = 4x + 4 - x² - 2x - 1 - 3 = 2x - x²

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