IHK Industriemeister E-Technik Prüfungsaufgabe?

Hallo zusammen,

ich bitte um Lösung für diese Aufgabe (zum Abgleich und Verständnis). Vielen Dank!

Aufgabe:

a) Gefordert ist die Belastung der einzelnen Transformatoren bei einem Abgang von 172 kVA.

b) Was ist die max. mögliche Ausgangsleistung der Transformatoren?

Answer 1

[Genuatief]

Als Ergänzung zu mihisu (wie man auf seine Formeln kommt):

a)

Hier wird der Trafo vereinfacht als rein reaktive Längsimpedanz Z angenommen. Die Kurzschlussspannung für Trafo n ist dann definitionsgemäß:

$U_k=I_n\cdot Z\ =\ \frac{I_n}{Y}$

Mit der Definition der bezogenen Kurzschlussspannung

$u_k:=\ \frac{U_k}{U_n}$

folgt daraus:

$Y\ =\ \frac{S_n}{u_k\cdot U_n^2}$

Die Ströme teilen sich proportional zu den Leitwerten Y auf (Stromteilerregel), also

$I_i=\ I_{ges\ }\cdot\frac{\frac{S_{ni}}{u_{ki}\ U_n^2}}{\frac{S_{n1}}{u_{k1}\ U_n^2}+\frac{S_{n2}}{u_{k2}\ U_n^2}+\frac{S_{n3}}{u_{k3}\ U_n^2}}$

Das selbe gilt wegen gleicher Spannungen auch für die Leistungen:

$S_i\ =\ S_{ges}\cdot\frac{\frac{S_{ni}}{u_{ki}\ U_n^2}}{\frac{S_{n1}}{u_{k1}\ U_n^2}+\frac{S_{n2}}{u_{k2}\ U_n^2}+\frac{S_{n3}}{u_{k3}\ U_n^2}}=\ S_{ges}\cdot\frac{\frac{S_{ni}}{u_{ki}}}{\frac{S_{n1}}{u_{k1}\ }+\frac{S_{n2}}{u_{k2}}+\frac{S_{n3}}{u_{k3}}}$

Die Rechnung ergibt dann:

Das ganze gilt natürlich nur näherungsweise.

b) siehe mihisu...

Answer 2

[mihisu]

====== a) ======

$S_{1}=\frac{\frac{S_{\text{N}1}}{u_{\text{K}1}}}{\frac{S_{\text{N}1}}{u_{\text{K}1}}+\frac{S_{\text{N}2}}{u_{\text{K}2}}+\frac{S_{\text{N}3}}{u_{\text{K}3}}}\cdot \sum S=\frac{\frac{63\,\text{kVA}}{5\,\%}}{\frac{63\,\text{kVA}}{5\,\%}+\frac{100\,\text{kVA}}{4\text{,}7\,\%}+\frac{40\,\text{kVA}}{5\text{,}2\,\%}}\cdot 172\,\text{kVA}\approx 52\text{,}14\,\text{kVA}$

$S_{2}=\frac{\frac{S_{\text{N}2}}{u_{\text{K}2}}}{\frac{S_{\text{N}1}}{u_{\text{K}1}}+\frac{S_{\text{N}2}}{u_{\text{K}2}}+\frac{S_{\text{N}3}}{u_{\text{K}3}}}\cdot \sum S=\frac{\frac{100\,\text{kVA}}{4\text{,}7\,\%}}{\frac{63\,\text{kVA}}{5\,\%}+\frac{100\,\text{kVA}}{4\text{,}7\,\%}+\frac{40\,\text{kVA}}{5\text{,}2\,\%}}\cdot 172\,\text{kVA}\approx 88\text{,}04\,\text{kVA}$

$S_{3}=\frac{\frac{S_{\text{N}3}}{u_{\text{K}3}}}{\frac{S_{\text{N}1}}{u_{\text{K}1}}+\frac{S_{\text{N}2}}{u_{\text{K}2}}+\frac{S_{\text{N}3}}{u_{\text{K}3}}}\cdot \sum S=\frac{\frac{40\,\text{kVA}}{5\text{,}2\,\%}}{\frac{63\,\text{kVA}}{5\,\%}+\frac{100\,\text{kVA}}{4\text{,}7\,\%}+\frac{40\,\text{kVA}}{5\text{,}2\,\%}}\cdot 172\,\text{kVA}\approx 31\text{,}83\,\text{kVA}$

Bzw. ist mit „Belastung“ oft auch eine Stromstärke gemeint. Die Stromstärken kann man berechnen, indem man jeweils die Scheinleistung durch die Spannung (400 V) teilt. Im konkreten Fall erhält man so 130,34 A + 220,09 A + 79,57 A.

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Als alternativen Rechenweg kann man auch mit...

$\frac{\sum S}{u_\text{K}}=\frac{S_{\text{N}1}}{u_{\text{K}1}}+\frac{S_{\text{N}2}}{u_{\text{K}2}}+\frac{S_{\text{N}3}}{u_{\text{K}3}}$

$\rightarrow\quad u_\text{K}=\frac{\sum S}{\frac{S_{\text{N}1}}{u_{\text{K}1}}+\frac{S_{\text{N}2}}{u_{\text{K}2}}+\frac{S_{\text{N}3}}{u_{\text{K}3}}}$

$\rightarrow\quad u_\text{K}=\frac{172\,\text{kVA}}{\frac{63\,\text{kVA}}{5\,\%}+\frac{100\,\text{kVA}}{4\text{,}7\,\%}+\frac{40\,\text{kVA}}{5\text{,}2\,\%}}\approx 4\text{,}14\,\%$

... zunächst die resultierende relative Kurzschlussspannung berechnen.

Und dann kann man mit...

$\frac{S_1}{u_\text{K}}=\frac{S_{\text{N}1}}{u_{\text{K}1}}\quad \rightarrow\quad S_1=\frac{u_\text{K}}{u_{\text{K}1}}\cdot S_{\text{N}1}$

$\frac{S_2}{u_\text{K}}=\frac{S_{\text{N}2}}{u_{\text{K}2}}\quad \rightarrow\quad S_2=\frac{u_\text{K}}{u_{\text{K}2}}\cdot S_{\text{N}2}$

$\frac{S_3}{u_\text{K}}=\frac{S_{\text{N}3}}{u_{\text{K}3}}\quad \rightarrow\quad S_3=\frac{u_\text{K}}{u_{\text{K}3}}\cdot S_{\text{N}3}$

... dies entsprechenden einzelnen Scheinleistungen berechnen...

$S_1=\frac{u_\text{K}}{u_{\text{K}1}}\cdot S_{\text{N}1}\approx \frac{4\text{,}14\,\%}{5\,\%}\cdot 63\,\text{kVA}\approx 52\text{,}14\,\text{kVA}$

$S_2=\frac{u_\text{K}}{u_{\text{K}2}}\cdot S_{\text{N}2}\approx \frac{4\text{,}14\,\%}{4\text{,}7\,\%}\cdot 100\,\text{kVA}\approx 88\text{,}04\,\text{kVA}$

$S_3=\frac{u_\text{K}}{u_{\text{K}3}}\cdot S_{\text{N}3}\approx \frac{4\text{,}14\,\%}{5\text{,}2\,\%}\cdot 40\,\text{kVA}\approx 31\text{,}83\,\text{kVA}$

====== b) ======

Der Transformator mit der kleinsten Kurzschlussspannung wird am ehesten überlastet. Demnach soll bei diesem (hier T2) die Scheinleistung nicht die Nenn-Scheinleistung überschreiten...

$S_{\text{N}2}=\frac{\frac{S_{\text{N}2}}{u_{\text{K}2}}}{\frac{S_{\text{N}1}}{u_{\text{K}1}}+\frac{S_{\text{N}2}}{u_{\text{K}2}}+\frac{S_{\text{N}3}}{u_{\text{K}3}}}\cdot \left(\sum S\right)_\text{max}$

Bzw. kann man auch mit der Gleichung...

$\frac{\sum S}{u_\text{K}} = \frac{S_{\text{N}1}}{u_{\text{K}1}}+\frac{S_{\text{N}2}}{u_{\text{K}2}}+\frac{S_{\text{N}3}}{u_{\text{K}3}}$

... arbeiten und dabei beachten, dass die resultierende Kurzschlussspannung nicht kleiner als die kleinste Kurzschlussspannung (im konkrenten Fall bei T2) sein soll...

$\frac{\left(\sum S\right)_\text{max}}{u_{\text{K}2}} = \frac{S_{\text{N}1}}{u_{\text{K}1}}+\frac{S_{\text{N}2}}{u_{\text{K}2}}+\frac{S_{\text{N}3}}{u_{\text{K}3}}$

Es ist egal, welchen der beiden Ansätze man nutzt. Wenn man die entsprechende Gleichung nach der gesuchten maximalen Scheinleistung auflöst, erhält man...

$\left(\sum S\right)_\text{max} = u_{\text{K}2}\cdot \left(\frac{S_{\text{N}1}}{u_{\text{K}1}}+\frac{S_{\text{N}2}}{u_{\text{K}2}}+\frac{S_{\text{N}3}}{u_{\text{K}3}}\right)$

$\rightarrow \quad \left(\sum S\right)_\text{max} = 4\text{,}7\,\%\cdot \left(\frac{63\,\text{kVA}}{5\,\%}+\frac{100\,\text{kVA}}{4\text{,}7\,\%}+\frac{40\,\text{kVA}}{5\text{,}2\,\%}\right)$

$\rightarrow \quad \left(\sum S\right)_\text{max} \approx 195\text{,}37\,\text{kVA}$