Hilfe bei Rotationsvolumen?
Hallo, bin gerade am Mathe lernen und brauche Hilfe bei einer Aufgabe für das Rotationsvolumen bzw Integral
Funktion: y=2/9x^2-2
Es geht um ein Drehparaboloid um die y-Achse. Masse Durchmesser unten 6 cm Durchmesser oben 12 cm Höhe 6 cm
Die Aufgabe:
Wie hoch steht die Flüssigkeit wenn 200ml Flüssigkeit eingefüllt werden?
Wäre super wenn jemand helfen könnte.
Verwende übrigens einen Ti-nspire cx
LG Daniel
3 Antworten
Hallo,
da der Körper um die y-Achse rotieren soll, mußt Du erst einmal die Umkehrfunktion bilden, damit Du ihn um die x-Achse rotieren lassen kannst, denn nur dann gilt die Formel für das Rotationsvolumen V=π*∫[f(x)]²dx.
Du mußt also y=(2/9)x²-2 nach x auflösen und dann x und y vertauschen.
y+2=(2/9)x²
(9/2)y+9=x²
y=√[(9/2)x+9]
y=√[(9/2)x+9]=3√[(1/2)x+1)]
Um das Rotationsvolumen zu berechnen, bildest Du das Integral dieser Funktion zum Quadrat, also von 9*[(1/2)x+1] und multiplizierst mit π; die 9 kannst Du als Faktor vor das Integral stellen:
9π*∫[(1/2)x+1]dx
Das ergibt F(x)=9π*(0,25x²+x)+C
Nun brauchst Du die Integrationsgrenzen. Die oberste mußt Du noch ermitteln, die untere ist die Nullstelle der Umkehrfunktion.
3√[(1/2)x+1)]=0, das ist bei x=-2 der Fall
Du ziehst also F(-2) von F(x) ab und setzt die Differenz auf 200 ml, das Volumen der Flüssigkeit, wobei x dann die gesuchte Füllhöhe ist:
9π*(0,25x²+x)-9π*(1-2)=200
Du kannst zunächst durch 9π teilen:
0,25x²+x+1=200/(9π)
Nun bringst Du 200/(9π)=7,073553026 auf die andere Seite und löst die quadratische Gleichung:
0,25x²+x-6,073553026=0
Als positive Lösung (die negative ist unbrauchbar) bekommst Du 3,319230405 heraus.
Da der Boden des Rotationskörpers bei -2 liegt, mußt Du noch 2 cm addieren, um die Füllhöhe zu ermitteln, also etwa 5,32 cm
Herzliche Grüße,
Willy
Ich habe etwas übersehen:
Als untere Integrationsgrenze mußt Du die Null nehmen, weil das Gefäß bei einem Durchmesser von 6 cm, also einem Radius von 3 cm anfängt.
Das ist bei x=0 der Fall, denn dann wird f(x)=3.
Du bildest also die Gleichung 0,25x²+x-0=200/9π=7,073553026
Dann ist x=3,682799671, also eine Füllhöhe von etwa 3,7 cm
du musst die funktion ableiten
Die Ableitung liefert Dir lediglich die Steigung.
Hier geht es um die Berechnung eines Rotationsvolumens - dazu brauchst Du die Integration.
Jo denke auch ableiten geh mal in den umwandler von Google.
Super Danke!! In der Schule wurde es uns nur mit dem Taschenrechner erklärt und ich verwende einen anderen :)