Hlife bei Rotationsvolumen?

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Hallo,

da der Körper um die y-Achse rotieren soll, mußt Du erst einmal die Umkehrfunktion bilden, damit Du ihn um die x-Achse rotieren lassen kannst, denn nur dann gilt die Formel für das Rotationsvolumen V=π*∫[f(x)]²dx.

Du mußt also y=(2/9)x²-2 nach x auflösen und dann x und y vertauschen.

y+2=(2/9)x²

(9/2)y+9=x²

y=√[(9/2)x+9]

y=√[(9/2)x+9]=3√[(1/2)x+1)]

Um das Rotationsvolumen zu berechnen, bildest Du das Integral dieser Funktion zum Quadrat, also von 9*[(1/2)x+1] und multiplizierst mit π; die 9 kannst Du als Faktor vor das Integral stellen:

9π*∫[(1/2)x+1]dx

Das ergibt F(x)=9π*(0,25x²+x)+C

Nun brauchst Du die Integrationsgrenzen. Die oberste mußt Du noch ermitteln, die untere ist die Nullstelle der Umkehrfunktion.

3√[(1/2)x+1)]=0, das ist bei x=-2 der Fall

Du ziehst also F(-2) von F(x) ab und setzt die Differenz auf 200 ml, das Volumen der Flüssigkeit, wobei x dann die gesuchte Füllhöhe ist:

9π*(0,25x²+x)-9π*(1-2)=200

Du kannst zunächst durch 9π teilen:

0,25x²+x+1=200/(9π)

Nun bringst Du 200/(9π)=7,073553026 auf die andere Seite und löst die quadratische Gleichung:

0,25x²+x-6,073553026=0

Als positive Lösung (die negative ist unbrauchbar) bekommst Du 3,319230405 heraus.

Da der Boden des Rotationskörpers bei -2 liegt, mußt Du noch 2 cm addieren, um die Füllhöhe zu ermitteln, also etwa 5,32 cm

Herzliche Grüße,

Willy

Ich habe etwas übersehen:

Als untere Integrationsgrenze mußt Du die Null nehmen, weil das Gefäß bei einem Durchmesser von 6 cm, also einem Radius von 3 cm anfängt.

Das ist bei x=0 der Fall, denn dann wird f(x)=3.

Du bildest also die Gleichung 0,25x²+x-0=200/9π=7,073553026

Dann ist x=3,682799671, also eine Füllhöhe von etwa 3,7 cm

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Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Super Danke!! In der Schule wurde es uns nur mit dem Taschenrechner erklärt und ich verwende einen anderen :)

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@DanyD

Taschenrechner sind schon nützlich. Sie sind aber nur Hilfsmittel und können das Verstehen von mathematischen Sachverhalten nicht ersetzen.

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Jo denke auch ableiten geh mal in den umwandler von Google.

du musst die funktion ableiten

Die Ableitung liefert Dir lediglich die Steigung.

Hier geht es um die Berechnung eines Rotationsvolumens - dazu brauchst Du die Integration.

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