HILFE: Gleichung einer Ebene bestimmen, die senkrecht auf einer Geraden liegt und durch Punkt geht
Heey. Ich schreibe übermorgen eine Mathe-LK-Klausur und komme an einer Aufgabe nicht weiter. "Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E, die senkrecht auf der Geraden g:x= (1) (1) (2) + r * (2) (-1) (-2)
steht & durch den Punkt P (1/0/-2) geht (P liegt nicht auf der Geraden g) und als Hinweis sollten wir Lotvektoren als Skizze bestimmen.
Es ist keine Hausaufgabe, sondern nur eine Übungsklausur gewesen, aber wäre lieb, wenn jmd mir weiterhelfen könnte, wie man dort anfängt und weitermacht.
Brauch man noch 'ne 2te Gerade oder kann man direkt die Parametergleichung der Ebene bestimmen? Ich bin verwirrt :D
4 Antworten
die Zahlen 2;-1;-2 sind doch vom Richtungsv. von g
und dann P einsetzen
2•1 + -1•0 + -2•-2 = 6
also ebene in koordinatenform
2x-y-2z=6
Wenn g senkrecht auf E stehen soll, kann man den Richtungsvektor von g auch als Normalenvektor von E betrachten. Wie du vielleicht weißt, gibt der Normalenvektor die Koeffizienten einer Ebene in Koordinatenform ax + by + cz = d an. Also sieht die Koordinatenform der Ebene irgendwie so aus:
2x - y - 2z = d. Um das d herauszufinden, braucht man nur noch den Punkt P einsetzen.
ok, dann will ich wohl etwas weiter ausholen :D Wenn ihr diese Form noch nicht hattet, will ich auch gar nicht weiter darüber reden. Du willst dann wahrscheinlich eine Ebene in Parameterdarstellung haben, nicht wahr? :/
Die Parameterdarstellung funktioniert so: Man schnappt sich einen Punkt in der Ebene, von dem man ausgehen will. Den nenne ich Ortsvektor. Dort setzt man zwei linear unabhängige Richtungsvektoren dran, die die gesamte Ebene vom Ortsvektor aus aufspannen. Das tun sie, wenn man beliebige Linearkombinationen der Richtungsvektoren an den Ortsvektor dranaddiert. sind u und v also die Richtungsvektoren der Ebene und ist p der ortsvektor, so lautet die Allgemeine Vorschrift für eine Ebene in Parameterform:
E: x ~> p + r * u + s * v. Hierbei sind r und s sogenannte Parameter. Das sind reelle Zahlen, die an die Vektoren als Skalare multipliziert werden.
Genug der Theorie, wir wollen ja diese Aufgabe lösen ^^ Wir wissen nun, wie unsere Ebene ganz grob aussieht, indem wir den Punkt P als Ortsvektor eingesetzt haben:
E: x ~> (1; 0; -2) + r * u + s * v. Wir müssen nur noch u und v rauskriegen. Ich unterscheide, wie du vielleicht siehst, nicht zwischen Punkten und Vektoren, in der Mathematik verhalten die sich quasi gleich.
Die ganze Ebene soll senkrecht auf der Geraden stehen... das heißt, beide Richtungsvektoren der Ebene müssen senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden g stehen.
Das wiederum heißt, dass das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor von g und einem beliebigen Richtungsvektor von E gleich 0 sein muss. Wir erhalten zwei Gleichungen. Ist u = (a; b; c) und v = (d; e; f), dann folgt:
(2; -1; -2) • (a; b; c) = 0 und (2; -1; -2) • (d; e; f) = 0.
=> 2a - b - 2c = 0 und 2d - e - 2f = 0. Für a und b könnte ich mir jetzt beliebige Werte ausdenken, ich entscheide mich für a=1 und b=0. Dann muss c=1 sein.
Da u und v linear unabhängig sein müssen (sonst spanne ich nur eine Gerade auf), wähle ich diesmal nicht e=0 sondern d=0 und e=2. Dann ist f=-1.
Jetzt habe ich meine zwei Richtungsvektoren.
=> E: x ~> (1;0;-2) + r * (1;0;1) + s * (0;2;-1). Diese Ebene erfüllt alle Kriterien.
soll die Gerade g senkrecht zur gesuchten Ebene stehen und P in der Ebene liegen?
Kann sein :D Steht da nicht so deutlich, aber wäre am wahrscheinlichsten, wenn P ja nicht auf der Geraden liegen soll
es gilt die Ebenengleichung: n * x = n * p
mit Normalvektor n= (2|-1|2) und Punkt p = (1|0|-2) und " * " ... Skalarmultiplikation
also Ebenengleichung: 2x - y + 2z = 2 * 1 - 1 * 0 + 2 * (-2)
Geht das nur mit diesem Normalenvektor und dieser Form? Weil wir das irgendwie noch nicht in der Form hatten. Wir hatten zwar Skalarmultiplikation und a senkrecht auf b, aber sonst..
und wie kommt man auf 2(!) x (-1)! y (-2)! z?
also diese Zahlen?