Hii, warum gibt es keine Quadratzahlen mit einer geraden Anzahl Teiler?
5 Antworten
Jeder Teiler hat einen Komplementärteiler, also ist die Anzahl der Teiler gerade , bei Quadratzahlen ist die Wurzel aber ihr eigener Komplementärteiler, daher ist dieser doppelt, also insgesamt eine ungerade Teileranzahl
20 = 2 • 10. 2 und 10 sind dann Komplementärteiler von 20, daher treten diese immer paarweise auf, außer bei Quadratzahlen 25 = 5 • 5 , bei der die Wurzel , nämlich die 5, ihr eigener Komplementärteiler ist, daher nur einfach gezählt wird.
Bei einer Quadratzahl, nennen wir sie q, treten alle Primfaktoren in gerader Anzahl auf. Wir können q also als Produkt schreiben: q=p_1^n_1 * p_2^n_2 ..., wobei die n_1, n_2, ... alle gerade sind.
Primfaktor p_1 kommt also n_1 mal vor, und n_1 ist gerade.
Die Teiler von q entstehen durch alle möglichen Produkte der Primfaktoren. In den Teilern kommt also beispielsweise p_1 in den Potenzen 0, 1, ... n_1 vor. Das sind (wegen der 0) n_1+1 Möglichkeiten.
(Beispiel: 36 = 2^2 * 3^2. In den Teilern kommt also 2^0=1, 2^1=2 oder 2^2=4 vor, also drei Exponenten, die die 2 in den Teilern von 36 haben kann.)
Es gibt also (n_1+1)*(n_2+1)*(n_3+1)*... Möglichkeiten, Teiler zu bilden. Ein bisschen sind wir aber jetzt über das Ziel hinausgeschossen: Die beiden Varianten, dass alle Exponenten 0 sind müssen wir weglassen, das ergibt 1: p_1^0 * p_2^0 *... = 1.
Ebenso ist die Variante, dass alle Faktoren in ihrer höchsten Potenz vorkommen zu viel, das ergibt q selbst. Insgesamt hat q also (n_1+1)*(n_2+1)*... - 2 Teiler.
Die n_1, n_2, ... sind gerade, also sind die (n_1+1), (n_2+1), ... alle ungerade. Das Produkt dieser ungeraden Zahlen ist wieder ungerade, und wenn man die 2 davon abzieht, bleibt es dabei. Voila - die Anzahl der Teiler ist ungerade.
Ich hoffe, das ist einigermaßen lesbar, die Notation in LaTeX-Syntax ist zwar eindeutig, aber im normalen Text nicht so einfach.
Teiler treten ja (mit einer Ausnahme) immer paarweise auf. Wenn t1 ein Teiler von n ist, dann auch t2 = n/t1.
Wenn t1 und t2 kein Paar bilden, geht das nur, wenn sie zusammenfallen. Das ist die Ausnahme.
Was für eine Zahl ist nun eine Zahl n, für die es t1 und t2 gibt, sodass t1 = t2 = n/t1 ist?
36 = 2 * 3 * 2 * 3 ???
Ziemlich gerade Anzahl, oder nicht?
Da musst du irgendein Gesetz missverstanden haben.
Eine Begründung kannst du hier nachlesen, ist aber nicht besonders leicht zu verstehen :
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Zahlentheorie:_Teileranzahl
er sucht die anzahl der teiler und nicht primfaktoren oder eine zerlegung in mehr als 2 faktoren.
36 hat 9 teiler (1,2,3,4,6,9,12,18,36)