Hi, welche 4 stellige Zahl ergibt mit 4 multipliziert wieder eine 4 stellige Zahl bei der die Ziffern in umgekehrter Reihenfolge stehen?
4 Antworten
Die Lösung von Drainage stimmt. Ich nehme mal an, dass es mit einem Computerprogramm berechnet wurde.
Zur Vollständigkeit habe ich hier noch einen mathematischen Weg:
Sei "x a b y" die kleinere Zahl.
Es muss gelten:
4*x = y
y*4 = p x
Wobei p eine Unbekannte ist.
Es ist offensichtlich, dass x=2 und y=8 weil 8*4 = 3 2.
Unsere Zahl hat folgende Form:
2 a b 8 = 8 b a 2
Weiter muss gelten:
4*(2000 + a*100 + b*10 +8) = 8000 + b*100 + a*10 + 2
Das können wir kürzen und kriegen folgendes Gleichungssystem:
2b = 13a + 1
Offensichtlich ist nun b = 7 und a = 1
Somit erhalten wir 2 1 7 8 = 8 7 1 2
Eine homogene lineare ===> diophantische Gleichung ( HLDG ) mein Chef hätte geurteilt:
" Man muss nicht alles wissen; man muss nur wissen, wo's steht. "
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/diophant.htm
( Die Lösungsmenge einer HLDG ist immer ein ===> Ideal ganz analog, wie der Kern eines LGS immer ein Vektorraum ist. ) Mein Ansatz; die Zahl heiße ( t = Tausender; h = Hunderter; z = Zehner; e = Einer )
n := 1 000 t + 100 h + 10 z + e ( 1 )
Dann lautet deine HLDG
4 000 t + 400 h + 40 z + 4 e = 1 000 e + 100 z + 10 h + t ( 2a )
Arndt stellt alles um
3 999 t + 390 h - 60 z - 996 e = 0 | : 3 ( 2b )
Auch LDG darfst du " lösungs-unschädlich " kürzen; du sollst es sogar:
1 333 t + 130 h - 20 z - 332 e = 0 ( 2c )
Eigentlich Logo: du hast vier Veränderliche und eine Nebenbedingung. Demnach überleben genau drei Parameter; das Oroblem: Wemm ALLE , e, z, h und t, ganzzahlig raus kommen sollen, kannst du nicht einfach her gehen und drei von ihnen alle ganzen Zahlen durchlaufen lassen. Wir haben hier praktisch die Gitterplätze eines 3 D Kristalls in einem ( abstrakten ) 4 D Raum; Arndt hat ein schlaues KI Programm entwickelt, wie du aufzulösen hast.
Zunächst mal steht da t = 2 p3 . Tausender sind Pflicht wegen der Vierstelligkeit; da die Tausender gerade heraus kommen müssen, geht nur t = 2, 4, 6, 8 entsprechend p3 = 1, ... , 4
Untersuchen wir zunächst den Fall p3 = 1 .
p2 = 0 ===> e = 3 ( 3a )
p2 = 1 ===> e = 8 ( 3b )
( 3a ) scheidet aus, so bald ihr euch mal die Zehner beim Arndt anseht. Wir haben z = 90 + 13 p1 . p1 = ( - 6 ) wäre eindeutig zu groß; mit p1 = ( - 7 ) würdest du schon in eine " negative " Ziffer rutschen. Aber ( 3b ) passt; aus den Zehnern ergäbe sich ja p1 = ( - 3 ) mit z = 7 . Das reicht aber für h = 1 .
n1 = 2 178 ( 4 ) ; Hurra !!!
Ich schick jetzt erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist.
Schlagfertigkeit wäre gewesen, wenn ich gleich genial gewesen wäre. Die Eindeutigkeit der Lösung; ein nahe liegendes Zahlen teoretisches Argument. Wir sagten, zu untersuchen bleiben nur noch 4 000 , 6 000 so wie 8 000 . Die wenn du aber Mal 4 nimmst, sind sie schon fünfstellig. Und dann noch ein Argument für Haarspalter; ( 3a ) hatten wir ja oben ausgeschlossen. Das folgt aber allein schon aus der Aufgabenstellung; denn nach dem Palindrom werden ja aus drei ( ungeraden ! ) Einern die Tausender.
Woher willst du das wissen? Oder bin ich zu doof? 4 Mal eine 2 000-er Zahl könnte ja auch locker in die 9 000 gehen - einmal ganz abgesehen davon, dass du a und b nicht vorher sagst.
Nein kann es nicht, überleg nochmals, weshalb das bei der Lösung nicht der Fall sein kann.
Ich habe oben einen vollständigen Weg zur Lösung in meinem Kommentar (mit Berechnung von a und b).
Wie soll das funktionieren. Es gehen nur die Zahlen 1 und 2 da 3*4 = 12 ist und damit 5stellig. Und egal wie man es dreht und wendet es kommen die ziffern nicht in umgekehrter Reihnfolge raus. 1212 * 4 = 4848 oder 2211 *4 = 8844
Nur weil es für eine Zahl nicht funktioniert, ist das kein Beweis, dass es generell unmöglich ist. Es ist möglich!
Dann erkläre mir bitte wie das gehen soll. Du hast nur die zahlen 012 zur Verfügung, da gibt es nur begrenzt Möglichkeiten und wenn Du alles ausprobierst, kommst Du nicht zu dem Ergebnis, das gewollt wurde. Spirch entweder wurde in der Aufgabenstellung etwas übersehen und uns falsch übertargen
Das ist nicht möglich.
Durch simples nachrechnen findet man die Lösung viel schneller.
Für die erste Ziffer (an der 1000er Stelle) kommen nur 2 Zahlen in Frage, da die Zahl 3*4=12 schon 2-stellig wird, kann die erste Ziffer nur eine 1 oder eine 2 sein. Jetzt rechnet man nach und sieht das
(1*4)*4 = 16
(2*4)*4 = 32
Somit ist nur die 2 ein möglicher Kandidat, weil die oben gezeigte Rechnung auch wieder auf 2 endet. Und schon hat man die ersten beiden Ziffern:
2 a b 8