Hauptsatz der differential und integralrechnung?
Hallo zusammen und zwar muss ich eine GFS zum o.g. Thema halten und verstehe die Theorie dahinter nicht. Ich verstehe das als normales integrieren und eben das integral berechnen. Bsp. https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/hauptsatz-der-differenzial-und-integralrechnung da verstehe ich die ganze Aufgabe, aber sie Theorie darüber nicht. Wäre nett, wenn mir das einer erklären könnte. Danke!
2 Antworten
Deine Frage ist sehr allgemein, denn über diese Themen könnte man sicher lange Abhandlungen führen.
Betrachtet man eine Funktion mit einer Variablen x, schliessen der Graph der Funktion f(x) und die x-Achse eine Fläche ein. Nehmen wir als Beispiel sin(x). Da entstehen Flächen, etwa wie Halbkreise, oberhalb und unterhalb der x-Achse.
Eine Funktion von x1 bis x2 zu integrieren heisst, die eingeschlossene Fläche von x1 bis zu x2 zu berechnen.
Bei sin(x) z.B. ist die Berechnung der Fläche nicht sofort offensichtlich. Nun füllt man diese Fläche mit einer Reihe von gleich breiten Rechtecken aus. Die Basis der Rechtecke steht auf der x-Achse und die gebenüberliegenden
Eckpunkte werden so gesetzt, dass einer davon den Graphen der Funktion berührt.
Nun kann aus der Summe der Flächen der Rechtecke einen Näherungswert für die gesuchte Fläche erhalten. Dieser Näherungswert wird umso besser sein, je kleiner man die Rechtecke macht (in der Breite).
Genau diese Summe meint das Integral. Es ist im Prinzip ein Summenzeichen für die Fläche der N Rechtecke, unter den Annahme man würde die Rechtecke beliebig klein machen.
Deswegen schreibt man auch Summe über "f(x) * dx", also mit f(x) als Höhe des Rechtecks und dx (delta x) als Breite des Rechtecks.
Ich verstehe das als normales integrieren und eben das integral berechnen
Korrekt.
Das wichtige ist:
...wurde durch Grenzwerte von Zahlenfolgen definiert, zum unbestimmten Integral (Aufsuchen von Stammfunktionen) gelangt man über die Umkehrung des Differenzierens.
QUELLE: der von Ihnen verlinkte Artikel
Ohne diesen Satz müßte man zur Integralberechnung andauernd Rechtecke mit Breite dx und Höhe f(x) erstellen, die Fläche der Rechtecke berechnen und dann die Summe der Rechtecksflächen, wenn dx gegen Null geht.
Der Hauptsatz besagt also, daß man das Integral OHNE diese Grenzwerte berechnen kann. Indem man über die Stammfunktion geht.
Was für eine wahnsinnige Erleichterung der Integralrechnung!
wenn x gegen 0 geht
Nein, wenn x gegen a geht.
Ist das der Hauptsatz?
Nein, der erste Teil des Hauptsatzes definiert die Stammfunktion und legt fest wie die Stammfunktion zur ursprünglichen Funktion steht.
Und der zweite Teil des Hauptsatzes erklärt, dann wie man das Integral tatsächlich berechnet.
Siehe:
de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis
Das heißt wir nehmen die Grenze von A bis A um quasi zu schauen was passiert, wenn x gegen 0 geht und lösen die Gleichung nach C auf. Das C wird dann in das allgemeine Integral von A bis B eingesetzt.
Ist das der Hauptsatz? Also grob formuliert, ja das C kürzt sich später beim einfügen J wieder weg etc.