Hat jemand Langeweile und Bock Aufgabe a,b,c zu machen 😌(bitte😭)?

Answer 1

[mihisu]

Ja, tatsächlich habe ich Langeweile gehabt und das mal durchgerechnet...

$f(x)=\frac{1}{4}\cdot \left(4-x\right)\cdot \text{e}^{x}$

$f'(x)=\frac{1}{4}\cdot \left(\left(-1\right)\cdot \text{e}^{x}+\left(4-x\right)\cdot \text{e}^{x}\right)$

$\quad=\frac{1}{4}\cdot \left(-1+4-x\right)\cdot \text{e}^{x}$

$\quad=\frac{1}{4}\cdot \left(3-x\right)\cdot \text{e}^{x}$

====== a) ======

Schnittpunkt des Graphen von f mit der x-Achse berechnen...

$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{4}\cdot \left(4-x\right)\cdot \text{e}^{x}=0$

$\quad \Leftrightarrow \quad 4-x=0$

$\quad \Leftrightarrow \quad x=4$

$\rightarrow\quad \text{Schnittpunkt: }S_{f, x}\left(\,4\,\middle|\,0\,\right)$

Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse berechnen...

$f(0)=\frac{1}{4}\cdot \left(4-0\right)\cdot \text{e}^{0}=\frac{1}{4}\cdot 4\cdot 1=1$

$\rightarrow\quad \text{Schnittpunkt: }S_{f, y}\left(\,0\,\middle|\,1\,\right)$

Schnittpunkt des Graphen von f′ mit der x-Achse berechnen...

$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{4}\cdot \left(3-x\right)\cdot \text{e}^{x}=0$

$\quad \Leftrightarrow \quad 3-x=0$

$\quad \Leftrightarrow \quad x=3$

$\rightarrow\quad \text{Schnittpunkt: }S_{f', x}\left(\,3\,\middle|\,0\,\right)$

Schnittpunkt des Graphen von f′ mit der y-Achse berechnen...

$f'(0)=\frac{1}{4}\cdot \left(3-0\right)\cdot \text{e}^{0}=\frac{1}{4}\cdot 3\cdot 1=\frac{3}{4}$

$\rightarrow\quad \text{Schnittpunkt: }S_{f', y}\left(\,0\,\middle|\,\frac{3}{4}\,\right)$

[Hinweis: Die Schnittpunkte kann man alternativ auch recht gut an den dargestellten Graphen ablesen, statt sie berechnen zu müssen.]

====== b) ======

$f'(x)=\frac{1}{4}\cdot \left(3-x\right)\cdot \text{e}^{x}$

Die Faktoren 1/4 und e^x sind für alle reellen Zahlen x positiv. Das Vorzeichen von f′(x) hängt nur vom Vorzeichen des Faktors 3 - x ab, ist also für x < 3 positiv und für x > 3 negativ. Aufgrund des Vorzeichenwechsels von positiv zu negativ bei x = 3, hat die Funktion f an der Stelle x = 3 ihr Maximum mit dem Maximum-Wert...

$f(3)=\frac{1}{4}\cdot \left(4-3\right)\cdot \text{e}^{3}=\frac{1}{4}\cdot \text{e}^{3}$

------

$f''(x)=\frac{1}{4}\cdot \left(\left(-1\right)\cdot \text{e}^x+\left(3-x\right)\cdot \text{e}^{x}\right)$

$\quad =\frac{1}{4}\cdot \left(-1+3-x\right)\cdot \text{e}^x$

$\quad =\frac{1}{4}\cdot \left(2-x\right)\cdot \text{e}^x$

Die Faktoren 1/4 und e^x sind für alle reellen Zahlen x positiv. Das Vorzeichen von f′′(x) hängt nur vom Vorzeichen des Faktors 2 - x ab, ist also für x < 2 positiv und für x > 2 negativ. Aufgrund des Vorzeichenwechsels bei x = 2, hat die Funktion f an der Stelle x = 2 einen Wendepunkt. Für die entsprechende y-Koordinate erhält man...

$f(2)=\frac{1}{4}\cdot \left(4-2\right)\cdot \text{e}^2=\frac{1}{4}\cdot 2\cdot \text{e}^2=\frac{1}{2}\cdot \text{e}^2$

------

Ergebnis:

• Maximum mit Wert 1/4 ⋅ e³ an der Stelle x = 3
• (kein Minimum)
• Wendepunkt ( 2 | 1/2 ⋅ e²)

====== c) ======

$f(2)=\frac{1}{4}\cdot \left(4-2\right)\cdot \text{e}^2=\frac{1}{4}\cdot 2\cdot \text{e}^2=\frac{1}{2}\cdot \text{e}^2$

Dementsprechend hat der Punkt P die Koordinaten ( 2 | 1/2 ⋅ e²).

[Nebenbemerkung: Bei P handelt es sich um den Wendepunkt der Funktion f.]

Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle...

$m=f'(2)=\frac{1}{4}\cdot \left(3-2\right)\cdot \text{e}^{2}=\frac{1}{4}\cdot \text{e}^{2}$

Für die Tangente erhält man dann...

$t :\quad y=m\cdot \left(x-x_P\right)+y_P$

$t :\quad y=\frac{1}{4}\cdot \text{e}^{2}\cdot \left(x-2\right)+\frac{1}{2}\cdot \text{e}^{2}$

$t :\quad y=\frac{1}{4}\cdot \text{e}^{2}\cdot \left(x-2\right)+\frac{1}{4}\cdot 2\cdot \text{e}^{2}$

$t :\quad y=\frac{1}{4}\cdot \text{e}^{2}\cdot \left(x-2+2\right)$

$t :\quad y=\frac{1}{4}\cdot \text{e}^{2}\cdot x$

Comments

[helllllp]

OMG DANKE 😭😭🙏