Chemie gleichungen?
Ich habe diese Aufgaben auf und ich weiß nicht wie man da vorgehen soll. Kann mir jemand helfen?
n den Blutkreislauf eines Patienten werden bei einer nuklearmedizinischen Untersuchung 850,000 Technetium-77-Atome gespritzt. Stelle die Anzahl N(o) der Technetium-99-Atome im Körper des Patienten innerhalb der nächsten 36 Stunden als Funktion der Zeit in einem Koordinatensystem dar Berechne, wie viele Technetium-99-Atome noch nach 17 Stunden bzw. nach 9Stunden noch im Körper des Patienten vorhanden sein werden. Gib hierbei deinen Rechenweg anLies aus der Zeichnung in Teilaufgabeab und berechne danach auch noch exakt wie lange es dauert, bis noch 300.000 bzw. bis noch 400000 Technetium-77-Atome vorhanden sind, Zeichne ein, wie du abliesGib an, wieviel Prozent des ursprünglich vorhandenen Technetium-98 nach Ablauf von 4 Halbwertszeiten zerfallen sind.
1 Antwort
Leider ist diese Aufgabe eine unglaubliche Gurke. ⁹⁹Tc ist ein einigermaßen langlebiges Isotop (τ=211000 Jahre); im Lauf von ein paar Stunden zerfällt davon also gar nichts. Was die Aufgabe meint, ist ⁹⁹ᵐTc, ein kurzlebiges Isotop, das mit τ=6.0067 h zerfällt; das Zerfallsprodukt ist ⁹⁹Tc (γ-Zerfall). In kurzer Zeit bleibt also die Anzahl der Tc-Atome (⁹⁹ᵐTc und ⁹⁹Tc) im Körper konstant, weil ja nur das ⁹⁹ᵐTc in ⁹⁹Tc zerfällt.
Die richtige Antwort auf Deine Fragen lautet also: Die Anzahl der Tc-Atome im Körper des Patienten ist über 72 Stunden konstant; selbst in einem Jahrhundert verschwinden nur 0.03% der Tc-Atome, das sind gerade einmal ≈250 Stück. In den ersten drei Monaten nach Behandlingsbeginn sollte sogar nur ein einziges ⁹⁹Tc-Atom zerfallen.
Das will Dein Leerer aber bestimmt nicht von Dir hören. Was er vermutlich will, ist eine andere Fragestellung, und zwar wieviele ⁹⁹ᵐTc-Atome nach einer bestimmten Zeit übrigbleiben (die anderen sind dann zu ⁹⁹Tc zerfallen). Unter dieser Annahme kann man das durchrechnen, und dazu braucht man die Zerfallsgleichung, die ich der Einfachheit folgendermaßen anschreibe:
Dabei ist N₀ die Anzahl der ⁹⁹ᵐTc-Atome zum Zeitpunkt 0 und N(t) die Anzahl der noch vorhandenen ⁹⁹ᵐTc-Atome zum Zeitpunkt t, und τ=6.0067 h ist die Halbwertszeit von ⁹⁹ᵐTc. Die Differenz, also N₀−N(t), entspricht der Anzahl der ⁹⁹Tc-Atome, die sich zum Zeitpunkt t bereits gebildet haben.
Als erstes die Graphik. Da brauchen wir nur die Funktion N(t) zu zeichnen wie oben angeschrieben:
Als nächstes wollen wir wissen, wieviele ⁹⁹ᵐTc-Atome nach 17 bzw. 48 Stunden noch im Patienten zu finden sind. Dazu brauchst Du nur einzusetzen und bekommst 112492 bzw. 3144 Atome heraus; nach 48 Stunden ist also fast nichts mehr (weniger als ½%) vorhanden. Umgekehrt enthält der Körper zu diesen Zeitpunkten bereits 687507 bzw. 796855 Atome des Isotops ⁹⁹Tc.
Als nächstes ist gefragt, zu welchem Zeitpunkt t genau N(t)=300000 bzw. 75000 ⁹⁹ᵐTc-Atome vorhanden sind. Dazu rechnen wir aus der Zerfallsgleichung das t explizit aus
und dabei ist ld meine Privatschreibweise für den Logarithmus zur Basis 2, aber Du kannst auch einen anderen Logarithmus verwenden; in der zweiten Form habe ich nur log geschrieben, weil die Basis egal ist (Du kannst lg oder ln oder sonstwas nehmen). Das Ergebnis ist 8 h 30 min bzw. 20 h 31 min. Du kannst leicht überprüfen, daß das zur oben geplotteten Graphik paßt.
Als letztes wollen wir wissen, welcher Anteil des ⁹⁹ᵐTc nach 5 Halbwertszeiten schon zerfallen ist. Die Frage ist überkompliziert gestellt, den von jedem radioaktiven Isotop sind nach fünf Halbwertszeiten noch genau 2¯⁵ = 1⁄32 ≈ 3% vorhanden und folglich 1−2¯⁵ = 31⁄32 ≈ 97% bereits zerfallen. Oder anders gesagt: Nach 5 Halbwertszeiten (30.03 Stunden) liegen 97% des ursprünglichen ⁹⁹ᵐTc als ⁹⁹Tc vor, es sind also nur noch 25000 Atome ⁹⁹ᵐTc übrig.
