Haben die Wörter atmen und Atmosphäre eine gemeinsame Herkunft und ist es Zufall, dass sie beide mit a-t-m beginnen?

Ja, das ist Zufall. Die beiden Wörter haben nichts miteinander zu tun.

Das Wort Atmosphäre ist aus den altgriechischen Wörtern ἀτμός atmós “Dampf”) und σφαῖρα sphaĩra “Kugel” gebildet. Dabei gehört ἀτμός in die Verwandtschaft des Ver­bums ἀῆναι aẽnai “blasen, wehen” und ist damit sogar mit Deutsch Wind weit­läu­fig verwandt.

Deutsch atmen und Atem kommen aus einer ganz anderen Verwandtschaft, die in vie­len anderen indogermanischen Sprachen die Bedeutung “Seele” hat, die rekonstruier­te Bedeutung ist also so etwas wie “Lebenshauch”, also das was Lebendes von To­tem un­ter­scheidet (vgl. deutsch Odem). Dazu gehören dann z.B. griechisch ἦτορ ḗtor ‘Herz’ (als Sitz des Gefühle) oder Saṁskr̥t आत्मन् ātman “Atem, Seele”.

Das ist Zufall. Atmosphäre hat altgriechische Wurzeln, atmen wohl germanische.