Gibt es Axiome für die ganzen Zahlen?

Für die Natürlichen Zahlen gibt es die Peanoaxiome. Gibt es so etwas ähnliches für die ganzen Zahlen? Wie lässt sich die Addition und die Subtraktion streng mathematisch auf die ganzen Zahlen erweitern?

2 Antworten

iokii

Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist

im Thema Mathematik

23.08.2017, 22:54

Die ganzen Zahlen kannst du mit hilfe eines kartesichen Produktes und einer Äquivalenzrelation ganz natürlich aus den Natürlichen Zahlen gewinnen, da braucht man überhaupt keine Axiome für (die Peano-Axiome sind übrigens auch keine Axiome mehr). Das Funktioniert genau so wie man sich die Rationalen aus den ganzen Zahlen Konstruiert.

Volens

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

24.08.2017, 14:09

Es ist nicht erforderlich, für andere für uns gewöhnliche Zahlen Peano-Axiome zu haben, da alle höheren Operationen sich aus der Hintereinanderausführung der Addition ableiten lassen.
Multiplikation ist direkt die Mehrfachausführung von Addition; und eine Mehrfachausführung der Multiplikation nennt man Potenzierung.
Definitionen wie -a = +(-a) sowie a⁻¹ = 1/a führen nicht aus dieser Zahlenmenge heraus.

Daher sind keine weiteren Axiome nötig. Diese geben ja nur eine Antwort in dem Bereich, wo das betrachtete System mit seinen Methoden zusammenstößt.

Woher ich das weiß:eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

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#include<stdio.h>

int main()
{
  int zahl1;
  int zahl2;
  char rechenart[2];

  printf("Bitte geben Sie eine Zahl ein ");
  scanf_s("%d", &zahl1);

  printf("Bitte geben Sie eine Zahl ein ");
  scanf_s("%d", &zahl2);

  printf("Bitte w\x84hlen sie eine Rechenart aus\n ");
  printf("'A' f\x81r Addition\n");
  printf("'S' f\x81r Subtraktion\n");
  printf("'M' f\x81r Multiplikation\n");
  printf("'D' f\x81r Division\n");

  scanf_s("%s", &rechenart, 2);

  if (rechenart == "A") {
    printf("Addition");
  }
  else if (rechenart == "b") {
    printf("Subtraktion");
  }

  return 0;
}

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carbonpilot01

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