Gegeben sind die Punkte A(1/-2/4) und B(2/5/1). Bestimme einen beliebigen Punkt P(5/y/z) so, dass der Winkel APB = 90° ist. Kann mir jemand helfen?

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2 Antworten

Hallo,

wenn der Winkel APB gleich 90 Grad ist, stehen P-A und P-B senkrecht aufeinander, das bedeutet, daß ihr Skalarprodukt gleich Null ist.

P-A=(5/x/y)-(1/-2/4)=(4/x+2/y-4)
P-B=(5/x/y)-(2/5/1)=(3/x-5/y-1)

(P-A)·(P-B)=(4/x+2/y-4)·(3/x-5/y-1)=0

4*3+(x+2)*(x-5)+(y-4)*(y-1)=0

12+x²-3x-10+y²-5y+4=0

x²+y²-3x-5y=-6

Alle x und y, die diese Gleichung erfüllen, kannst Du in P (5/x/y) einsetzen.

Am besten setzt Du eine Variable auf 0, z.B. x=0

Dann fallen die x weg und es bleibt die quadratische Gleichung

y²-5y+6=0 übrig, die die Lösungen y=2 und y=3 hat.

Somit wären zwei mögliche Lösungen für P:

(5|0|2) und (5|0|3)

Natürlich gibt es unendlich viele andere Lösungen, die sich alle auf der Oberfläche einer Kugel um den Mittelpunkt der Strecke AB und dem Radius von 0,5*AB befinden.

Herzliche Grüße,

Willy

Vielen herzlichen Dank für diese hilfreiche Antwort.

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Der Richtungsvektor PA ist gegeben durch (A-P) = (1-5, -2-y, 4-z)
Der Richtungsvektor PB ist gegeben durch (B-P) = (2-5, 5-y, 1-z)

Die beiden Richtungsvektoren stehen senkrecht, wenn das Skalarprodukt 0 ergibt

(1-5)(2-5) + (-2-y)(5-y) + (4-z)(1-z) = 0
12 -10 -5y +2y +y^2 +4 -z -4z +z^2 = 0
6 -3y +y^2 -5z +z^2 = 0

Jetzt kann man z=1 setzen ("beliebiger Punkt")

2 -3y +y^2 = 0

Lösung: y = 1 oder y = 2

d.h. die Punkte P(5/1/1) oder P(5/2/1) wären eine Lösung.

Oder alle Punkte P(5/y/z), mit

6 -3y +y^2 -5z +z^2 = 0

Diese liegen übrigens auf einem Kreis.

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