Wie führt man eine Faktorzerlegung bei einer Ganzrationale Funktion durch?

3 Antworten

Wenn du eine quadratische Gleichng hast, geht es schnell. Du ermittelst mit der p;q-Formel die Nullstellen. (Normieren nicht vergessen;vor x² darf nichts stehen!) Bei den Lösungen drehst du das Vorzeichen um, denn die Linearfaktoren sind:

(x - x1) und
(x - x2)

Wäre eine Lösung z.B.( -4) hieße der Linearfaktor (x + 4).

Bei Gleichungen höheren Grades braucht man Glück. Das Absolutglied (der Term ohne x) zerfällt multiplikativ in die Lösungen der Gleichung. Bei der Zahl 10 wären die möglichen ganzzahligen Lösungen {±1; ±2; ±5). Wenn eine passt (Probieren!), macht du daraus einen Linearfaktor und dividierst die Gleichung durch diesen.

Aber Actung! Auf der anderen Seite der Gleichung muss Null gestanden haben. Sonst funktioniert es nicht mit den Linearfaktoren.

Diese Polynomdivisionen müssen eventuell mehrfach wiederholt werden, bis man eine quadratische Gleichung erreicht hat.

Haben die Gleichungen keine ganzzahligen, reellen Lösungen, bedarf es komplizierterer Verfahren. Aber in Büchern wird meist angekündigt, wenn die Lösungen ganzzahlig sind.

Da wäre ein Beispiel sinnvoll. Entweder geht es so wie Walto es beschrieben hat. Nullstelle finden und dann Polynomdivision oder aber auch einfach durch umformen. Da kommen dann oft die binomischen Formeln ins Spiel.

Der erste Rechenschritt besteht im Auffinden einer ersten Nullstelle; entweder rät man oder man nutzt Näherungsverfahren.

Der zweite Rechenschritt kann eine Polynomdivision sein. Deren Ergebnis ist eine quadratische Gleichung, die sich ohne weiteres lösen läßt.

Evtl. kann man auch weitere Rateversuche anstellen.

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