Für jede natürliche Zahl x, die eine Primzahl ist, gilt x = 2 oder x ist ungerade. Formalisieren Sie die obige Aussage mit Hilfe der Prädikatenlogik?

Man darf die üblichen mathematischen Symbole (≤, <, =, etc.) sowie die Prädikate teilt(x, y) und prim(x) verwenden. Mir geht es nur, um die Position von prim(x), denn hierbei handelt es sich um eine weitere Bedingung und ich weiß nicht, ob mein Ansatz

∀x∈ℕ : prim(x) → ((x = 2) ∨ ungerade(x))

hinsichtlich der Aufgabe richtig ist.

1 Antwort

nobytree2

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

01.11.2021, 14:58

Naja, kann man so machen, denn wenn prim(x) falsch ist, ist die Implikation immer wahr.

Ich hätte eher x e P: x=2 oder 2 teilt nicht x, wobei es für „teilt“ und „teilt nicht“ eigene Symbole gibt

Angenommen, es gibt natürliche Zahlen mit jeweils mehreren unterschiedlichen Zerlegungen, dann auch wieder eine kleinste, genannt n. Dies kann keine Primzahl sein und zwei Zerlegungen von n können keinen gemeinsamen Primfaktor p enthalten, da dann auch n / p zwei verschiedene Zerlegungen hätte und kleiner als n wäre, im Widerspruch zur Annahme, dass n minimal ist. Es gilt also etwa n = p * a= q * b, wobei p und q Primzahlen sind, und es gilt p ungleich q, a ungleich b. Das abschließende Argument ist das Lemma von Euklid: Teilt eine Primzahl ein Produkt, so auch einen der Faktoren. Da n durch p teilbar ist, muss einer der Faktoren der anderen Zerlegung durch p teilbar sein und das ist b, denn q ist prim. Also taucht ein beliebiger Primfaktor stets in beiden Zerlegungen auf und damit sind sie identisch.

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Für mich gäbe es nur eine, p = 3.

Also wahr.

Jedoch kann man ja über die Verteilung der Primzahlen generell nichts sagen.

Könnte diese Aussage also falsch sein?

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Warum lässt sich jedes Problem in P auf jedes andere Problem in P reduzieren und was heißt das?

Ich habe gerade gelernt, dass man jedes Entscheidungsproblem L1 über Σ in P auf jedes andere Problem L2 über Σ aus P reduzieren kann. Mit hat es hier "die Kette rausgehauen":

Eine Reduktion ist ja eine berechenbare Abbildung

jetzt könnte ich festlegen Σ = Natürliche Zahlen von 1 bis 1 Million

L1 = {w ∈ Σ | w ist prim)

L2 = {w ∈ Σ | w ist gerade)

und definieren:

f(w) = 6 wenn w prim

f(w) = 7 wenn w nicht prim

Dies erfüllt genau die obige Definition einer Reduktion.

Nur welchen Sinn macht es, hier von einer "Reduktion" zu sprechen, denn ich habe ja den Primtest auf eine Zahl nicht auf den Test auf Geradheit einer Zahl zurückgeführt.

Ich hätte intuitiv etwas als Reduktion bezeichnet, wenn ich durch die Entscheidung L2 auch L1 entscheiden kann. Hier liegt aber aus meiner Laiensicht ein "fauler Zauber" vor, denn in der Abbildungsvorschrift f ist eigentlich schon enthalten, dass ich dafür schon die Entscheidung auf Prim durchführen, also L1 lösen muss. Es "hört sich aber so an", als könnte man nun einen Primtest (der ja, obwohl in P liegend, relativ komplex ist) auf etwas "reduzieren", wo man nur auf Geradheit prüft (was ja von der Komplexität nicht vergleichbar ist). Jedenfalls ist das nicht im Sinne der Erfindung eines "funktionierenden" Algorithmus für L1, den ich zu lösen vermag, indem ich L2 löse.

Ich hoffe, ich habe mich in meiner Notation verständlich ausgedrückt und man weiß, was ich meine...(bin kein Informatiker, daher bitte Milde walten lassen ;-)

Habe ich eine falsche Vorstellung von einer Reduktion oder ist das einfach so?

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Beweis, Satz des Pythagoras a gerade b gerade?

Seien a,b,c ∈ Z und gelte a^2+b^2=c^2.Zeigen Sie: a ist gerade oder bist gerade.

eine ungerade Zahl hat die Form: 2n+1 mit n ∈ Z

eine gerade Zahl hat die Form: 2k mit k ∈ Z

Ich würde jetzt einen Beweis durch Widerspruch machen. Also annehmen, das wenn beide ungerade oder einer von beiden ungerade ist, c nicht mehr Element von Z ist.

z.b 3^2 + 5^2 = 34 Die Wurzel von 34 ist keine ganze Zahl

Für den Fall, das beide ungerade wären, würde ich einfach 2n+1 für a und b.

Für den Falls, das nur a oder b ungerade ist, nur für den jeweiligen 2n+1 einsetzten.

Soweit richtig? Wann weiß ich, das durch das Einsetzten(und dann Umformen ) einen Widerspruch herleite, also woran kann ich an der Formel erkennen, das c keine ganze Zahl mehr sein kann?

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Suche einen Beweis für den obenstehenden Satz. x ist Element der ganzen Zahlen und n Element der positiven Natürlichen Zahlen. Ich habe es mit der Kontraposition versucht, komme aber leider nicht weiter. Mein Ansatz war folgender:

A= x ist ungerade

B= x^n ist ungerade

A->B = nichtB -> nichtA (Kontraposition)

nun muss also bewiesen werden dass wenn x^n gerade ist x auch gerade ist

eine gerade zahl ist ein vielfaches von 2 daher gilt:

x^n =2k

dann müsste

x= n-te Wurzel von 2k sein

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ist glaub ich formal aber net ganz richtig.
um ehrlich zu sein würde ich einen rein rechnerischen Weg bevorzugen

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public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        int limit = 100;
        int zahl;                   //überprüfen der zahl
        int counter= 2;
        boolean prim;           //Hilfsvariable ob die aktuelle zahl eine Primzahl ist

        for (zahl = 2; zahl <= limit; zahl++) {
            prim = true;
            while(counter < Math.sqrt(zahl) + 1) {
                counter++;

                if (zahl % counter == 0) {
                    prim = false;

                } else if (prim) {
                    System.out.println(zahl + " ");
                }
            }
        }
    }
}

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