Fallunterscheidung bei Funktionsgleichung mit Parametern?
2 Antworten
gamz einfach ? Dann nehmen wir mal die Parabel
y = a*x².................Parameter ist a
ist a = 0 , gibt es keine P
ist a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet , ihr Scheitelpunkt ist ein relatives ( aber auch globales Minimum )
ist a < 0 ...........nach unten , Maximum
Die Ableitung ist y' = 2ax..................die zweite y'' = 2a...............setzt man hier a < 0 oder a > 0 ein , erhält man für a < 0 ein Max oder für a > 0 ein Min
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Parabel mit y = x² + bx .................
Nullstellen ..................... mit pq - Formel..............
Fallunterscheidung : b < 0 , b > 0
- - b/2 + - wurz ( (b²/4) ) = -b/2 + - b/2 ....................man erkennt , dass Parabeln dieser Form immer eine Nullstelle mit x = 0 haben müssen , und zweitens : dass es immer zwei Nullstellen gibt , wenn b ungleich Null ...............Außerdem liegt der Scheitelpunkt immer bei x = -b/2
Beispiel die Parabel allgemeine Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
Normalform 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel x1,2=-p/2 +/-Wurzel((p/2)²-q)
siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst
Kapitel,quadratische Gleichung,Lösbarkeitsregeln
Beispiel: fa(x)=x²+(2*a)*x+4
also p=2*a und q=4
x1,2=-(2*a)/2+/-Wurzel((2*a/2)²-4)=-a+/-Wurzel(a²-4)
Radikand (a²-4)
nun die Lösbarkeitsregeln anwenden
0=a²-4 → a1,2=+/-Wurzel(4)=+/-2
1 Fall: a1,2=+/-2 dann Radikant (a²-4)=0 → doppelte Nullstelle (Graph berührt nur die x-Achse)
2 Fall: |a|>2 dann 2 reelle Nullstellen (2 Schnittstellen mit der x-Achse)
3 Fall: |a|<2 dann nur 2 konjugiert komplexe Lösungen (keine Schnittstelle mit der x-Achse)
Parabel liegt dann komplett über oder unter der x-Achse.