Faktorisierte Form - Wie genau funktioniert das?

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3 Antworten

Wenn du die p,q-Formel kannst, bist du in der Lage, jede quadratische Gleichung zu faktorisieren, die "nichts" (bzw. 1) vor x² stehen hat.

x² - 6x + 5 = 0
          x₁,₂  = 3 ± √4
          x₁    = 5
          x₂    = 1

Daraus bildet man Linearfaktoren. Achtung! Vorzeichen umdrehen.

(x - 5) * (x - 1)
Das sind deine Linearfaktoren. Damit ist die Gleichung faktorisiert.

Es werden jedoch nicht alle quadratischen Gleichungen so faktorisiert,
Bei x² - 6x = 0    genügt das Ausklammern von x.

x ( x - 6)


Häufig kannst du auch Binome direkt erkennen:

http://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm

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An der Scheitelpunktform kannst Du den Scheitelpunkt ablesen: f(x)=a(x-d)²+e

An der faktorisierten Form die Nullstellen: f(x)=a(x-x1)(x-x2). Diese Gleichung besteht nur aus Faktoren, daher der Name "faktorisierte Form", imGegensatz zur Scheitelpunktform, hier hast Du letztendlich eine Summe.

Um jetzt herauszufinden, wie Deine Funktion faktorisiert dargestellt werden kann, musst Du überlegen, welche Zahlen addiert -6 und multipliziert +5 ergeben. Da man es zu Lernzwecken in der Schule in der Regel mit ganzen Zahlen zu tun hat, gibt es für die 5 als Produkt 2 Möglichkeiten:
1. 1 * 5=5
2. -1 * (-5)=5

eine dieser Varianten muss addiert -6 ergeben:
1. 1+5=+6 falsch
2.-1-5=-6 passt

also kommt raus: x²-6x+5=(x-1)(x-5)

Zur Probe könntest Du die rechte Seite ausmultiplizieren. Es wird/sollte die linke rauskommen.

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=(x-1)(x-5) und +1 und +5 sind die Nullstellen;

guck mal unter Vieta (google)

oder du machst ne pq-Formel und berechnest die Nullstellen;

dann faktorisierte Form

y =(x-N1)(x-N2)

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