Fängt die Ableitung immer von unten an?
Bei der funktion 3.gerade fängt es z.b. von unten obwohl es mit fall anfängt und kein wachstum
2 Antworten
Die 1. Ableitung gibt die Steigung der Funktion an.
Wenn die Funktion von "links unten" kommt und erstmal ansteigt, ist die 1. Ableitung in dem Bereich logischerweise positiv. Ein Beispiel wäre x³-x².
Aber wenn die Funktion von "links oben" kommt und erstmal fällt, ist die 1. Ableitung in dem Bereich ebenso logischerweise negativ. Ein Beispiel hierfür wäre -x³+x².
Es kann sogar sein, dass die 1. Ableitung immer negativ oder immer positiv ist, nämlich wenn die fragliche Funktion nie zwischen "Steigen" und "Fallen" wechselt. Ein Beispiel dafür wäre -x³-x. Fällt stetig, also ist die 1. Ableitung auch über den kompletten Wertebereich negativ. Und x³+x steigt stetig, also ist die 1. Ableitung logischerweise auch über den kompletten Wertebereich positiv.
Bei der funktion 3.gerade fängt es z.b. von unten obwohl es mit fall anfängt und kein wachstum
Wenn die ursprüngliche Funktion fällt, muss auch die 1. Ableitung negativ sein. Weil negative Steigung.
Dann ist auch die Ableitung positiv.
Obacht: Dass die Ableitung positiv ist, heißt dass ihre (y-)Werte >0 sind! Die Ableitung kann trotzdem abwärts zeigen... das heißt, dass die Steigung der ursprünglichen Funktion flacher wird wird.
Eine "positive Steigung" und ein "positiver Wert" sind zwei unterschiedliche Dinge!
Bei x³ ist die Ableitung 3x² und geht in beide Richtungen nach +∞. Da fängt die Ableitung also nicht von unten an. Einen Anfang gibt es übrigens nicht. Man kann nur das Verhalten für x → -∞ und x → ∞ untersuchen. Bei -x² ist die Ableitung auch zuerst positiv. Allgemein bei ungeradem Grad mit positivem Leitkoeffizienten und geradem Grad mit negativem Leitkoeffizienten steigt die Funktion zuerst.
Aber sie steigt und sieht wie eine s Kurve aus