Extremwertprobleme Aufgabe zu Sportstadien?
Hallo,
Wie soll ich bei dieser Aufgabe vorangehen?
Ein Sportstadion mit einer 400-m-Laufbahn soll so ange-
legt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist. Die
beiden Kurven sollen Halbkreise sein.
Bestimme, für welche Länge und für weiche Breite das
Fußballfeld maximal Wird. Wie groß ist es?
Ich habe jetzt eine Gleichung aufgestellt:
U(Station)= 2πr+2a
400 m= 2πr+2a
Aber da ich hier zwei Unbekannte habe, weis ich nicht wie ich das Weiter berechnen.
Kann mir jemand helfen ?
2 Antworten
Hallo,
die Fläche des Fußballfeldes ist a*b und soll maximal werden.
Wenn a die Breite ist, ist a gleichzeitig der Durchmesser eines Halbkreises.
Der Umfang eines Halbkreises ist somit pi*a/2 und damit der Umfang beider Halbkreise pi*a.
Die beiden Halbkreise und die beiden Geraden des Rechtecks, (Längsseiten, also b)
ergeben zusammen 400 m (Nebenbedingung).
Wir haben also pi*a+2b=400
Somit ist 2b=400-pi*a und b=200-pi*a/2
Du ersetzt nun in der Flächenformel b durch 200-pi*a/2 und hast nur noch eine Unbekannte:
f(a)=a*(200-pi*a/2)=200a-pi*a²/2
Nun f'(a) bilden, auf Null setzen und nach a auflösen.
Hast Du a, kannst Du nach der Formel b=200-pi/2 auch b berechnen und bist fertig.
Herzliche Grüße,
Willy
Gibt's dazu 'ne Zeichnung? Kann mir beim besten Willen gerade nicht vorstellen wie es angeordnet werden soll :D