Brauche Hilfe bei einer Matheaufgabe , da ich sie nicht verstehe.
Hallo ;) Eigentlich bin ich ganz gut in Mathe und komm auch mit dem Thema klar. Doch im Moment verwirrt mich ziemlich eine Aufgabe und ich sitze schon gefühlte 1,5 Stunden daran. und kann es mir immernoch nicht erklähren. Deswegen dachte ich mal einer von euch hätte eine Idee ( Lösung ) wie man das machen könnte.
Es geht um Vermischte Übungen zu Umfang und Flächeninhalt eines Kreises.
Buch : 7 Elemente der Mathematik
Seite : 198
Nummer: 4b)
Die LAufbahnen eines Stadions bestehen aus zwei Halbkreisen ( Kurven ) und zwei Strecken ( Zielgerade, Gegengerade) . Die Laufbahnen werden so angelegt, dass die Läufter auf der Innenbahn (1.Bahn) im Abstand von 30 cm von der Innenkante genau 400 m zurücklegen. Die einzelnen Laufbahnen sind 1, 22 m. Breit
Wie lang ist die Innenkante der Laufbahnen?
1 Antwort
Tatsächlich kann man die Länge der Innenkante der inneren Laufbahn OHNE weitere Angaben ausrechnen:
Sei r der Radius der Bahnkurve (Halbkreis) der Innenkante der Innenbahn und R der Radius der Bahnkurve der 30 cm weiter außen liegenden Lauflinie, deren Länge = 400 Meter betragen soll. Man beachte, dass die Länge L der beiden Geraden (Ziel- bzw. Gegengerade) für alle Laufbahnen und alle Bahnkanten immer gleich ist.
Es gilt also:
2 * pi * R + 2 L = 400
(Umfang der beiden Halbkreise der Lauflinie + Länge beider Geraden = Länge der Lauflinie der inneren Bahn)
2 * pi * r + 2 L = 400 - x (Umfang der beiden Halbkreise der inneren Innenkante + Länge beider Geraden = Länge der Innenkante der inneren Bahn. x ist die Differenz der Lauflinienlänge und der Innenkantenlänge)
Subtraktionsverfahren:
2 * pi * ( R - r ) = x
Offensichtlich ist die Längendifferenz x der Lauflinie und der inneren Bahnkante ausschschließlich von der Differenz ( R - r ) der Radien der jeweiligen Halbkreise abhängig. Diese Differenz beträgt laut Aufgabenstellung 0,3 m, also:
x = 2 * pi * 0,3 = 1,885 m
Die Innenkante K1 der inneren Laufbahn ist also:
K1 = 400 - x = 398,115
Meter lang.
Die Differenz der Radien der Halbkreise, die zu den weiter außen liegenden Laufbahnen gehören ist gemäß Aufgabenstellung jeweils 1,22 m von einer Bahninnenkante zur nächsten.
Da die Bahnlängendifferenz wie gezeigt nur von dieser Radiendifferenz abhängt, gilt für die Länge K2 der Innenkante der nächsten Bahn:
K2 = K1 + 2 * pi * 1,22 = 398,115 + 7,6655 = 405,78 m
und für die Länge Kn der Innenkante der n-ten Bahn:
Kn = K1 + n * 2 * pi * 1,22 = 398,115 + pi * 2,44 * n
Die Innenkante der 8.Bahn von innen (mehr gibt es meist nicht) ist also:
K8 = K1 + pi * 2,44 * 8 = 398,115 + 61,324 = 459,44
Meter lang.