Extremwertprobleme 12 gk
Hallo Ich habe eine Aufgabe zu Extremwertproblemen auf und komme da irgendwie nicht weiter bzw. auf ein falsches Ergebniss...
Die Aufgabe lautet: "Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000l gewählt werden, damit der Blechvorrat minimal ist?"
Hab dann ganz normal Haupt- und Nebendbedingung aufgestellt.
Hauptbedingung:
O = pir^2 + 2pirh (Bereits Deckel abgezogen)
Nebenbedingung:
1000l = pir^2h
Dann habe ich die Nebenedingung nach h aufgelöst um diese dann in die Hauptbedingung einzusetzen:
h = 1000l / pi*r^2
Durch einsetzen komme ich auf folgende Zielfunktion:
O(r) = pir^2 + 2pir(1000 / pi*r^2)
Habe noch die Klammer aufgelöst und gekürzt:
O(r) = pi*r^2 + 2000 / r
Dann abgeleitet um die notw. und hinr. Bedingung zu machen.
O'(r) = 2pir - 2000 / r^2 O''(r) = 2*pi + 2000/ r^3
notw.Bed.: O'(r) = 0
0 = 2pir - 2000 / r^2 | + 2000 / r^2 2000 / r^2 = 2pir | / r^2 2000 = 2pir^3 | / 2pi 2000 / 2pi = r^3 | 3te Wurzel ziehen r = 6,83
Aus der hinr. Bed. ergibt sich ein Tiefpunkt, was auch gefordert ist.
Wenn ich alles in O(r) einsetze, um den Oberflächeninhalt herauszubekommen, erhalte ich als Ergebniss 911,859.
Mein Problem ist jetzt, wenn ich eine Probe mache, indem ich Die Hauptbedingung ebenfalls nach h umforme und alle Werte einsetze, diesen h Wer die Volumen Formel einsetze, komme ich nicht auf die 1000 Liter Volumen.
Daher glaube ich, dass ich einen Fehler gemacht habe.
Es wäre nett, wenn ihr mir sagen könntet wo dieser liegt :)
LG Philip
3 Antworten
Deine Ableitungen sind alle richtig, ich habe mich auf meinem Schmierblatt gründlich vertan.
aus O'(r)=0 folgte das r=6,82784 damit kann man die Oberfläche mit O(r) berechnen
O(6,82784) = 439,378
da O(r) = pi r^2 + 2pi r h ist h = (O(6,82784) - pi r^2) / 2pi r = 6,82784 Der Radius ist gleich der Höhe....
mit V(r,h) = pi r^2 h = pi * 6,82784 * 6,82784 * 6,82784 = 1000
Danke :)
Habs mir nochmal genau angeschaut und jetzt auch das richtige Ergebnis heraus :)
Was Du geschrieben hast scheint größtenteils korrekt (Vorzeichenfehler bei der 2. Ableitung, meine ich!). Habe die Aufgabe selbst kurz durchgerechnet - hatte keine Probleme mit dem Ergebnis, der Fehler müsste also in dem Teil liegen den Du nicht aufgeschrieben hast (am Ende).
Denke es war einfach nur ein Quadrat was ich im Taschenrechner vergessen habe ;)
Danke :)
die Ableitung von:
O(r) = pi r^2 + 2000 / r ist doch
O'(r) = 2 pi r + 1000 / r^2
damit ergibt sich für O'(r)=0
r=5,41926 dm
eingesetzt in h = 1000l / pi r^2 ergibt h= 10,839 dm
V(r,h) = pi r^2 h = 1000 dm³
Nur deine Ableitungen waren falsch, sind ist alles ok, ich hoffe ich konnte helfen.
MfG
mhm die Ableitung von:
O(r) = pi r^2 + 2000 / r ist nicht:
O'(r) = 2 pi r + 1000 / r^2
habe mich verschrieben, aber mit meiner falschen Ableitung klappt es, also steckt wo anders der Fehler.