Exponentielles Wachstum?
Kann mir jemand dieses Erklären?
Plutonium-238 hat eine Halbwertzeit von etwa 90 Jahren, was einer Abnahme um 0,8 % pro Jahr entspricht. Gehe von einer Stoffmenge zu Beginn von 1000 g aus.
- Zeige, dass es eine konstante „10 % (20 %, 25%)-Zeit" gibt, in der sich der Bestand jeweils um 10% (20 %; 25 %) reduziert.
- Untersuche, ob die 20%-Zeit genau doppelt so lang ist wie 10 %-Zeit.
2 Antworten
Wenn die Abnahme 0,8% pro Jahr entspricht bedeutet das ja, dass nach einem Jahr noch 99,2% da sind. Nach dem nächsten Jahr dann wieder 99,2% davon. Und so weiter.
Also, Restmenge nach x Jahren:
Restmenge(x) = Anfangsbestand • 0,992^x
1) Es ist tatsächlich egal, wie groß der Anfangsbestand ist. Die Zeit bis nur noch 90% dieses Bestandes vorhanden sind, errechnet sich aus
0,9 = 0,992^x
x ≈ 13,12 Jahre (für jeweils 10%)
0,8 = 0,992^x
x ≈ 27,78 Jahre (für jeweils 20%).
2) Also mehr als doppelt so lang.
Das ist das, was nach x Jahren mit jeweils 0,8% Zerfall noch übrig ist.
Das habe ich im ersten Absatz eigentlich schon beschrieben:
Wenn die Abnahme 0,8% pro Jahr entspricht bedeutet das ja, dass nach einem Jahr noch 99,2% da sind. Nach dem nächsten Jahr dann wieder 99,2% davon. Und so weiter.
ich verstehe nicht ganz wie man auf die Jahre kommt😓
Ok, anders Beispiel: du hast mal 100 Goldbarren geerbt. Ich komme dich einmal im Jahr besuchen und nehme dir jedes Mal die Hälfte deines Goldes weg. (Ansonsten verändert sich die Goldmenge nicht).
Am Anfang hast du 100 Barren. Beim ersten Besuch nehme ich dir die Hälfte weg, also hast du noch 50.
Beim zweiten Besuch nehme ich dir wieder die Hälfte weg, das sind aber nur noch 25.
Im dritten Jahr muss ich dann schon ne Säge mitbringen, um dir 12,5 wegnehmen zu können.
Du kannst hochrechnen, wieviele Goldbarren du nach x Jahren noch haben wirst. Formaler Ansatz:
Rest (in Abhängigkeit von x) = 100 • 0,5^x
Du könntest jetzt auch berechnen, nach wievielen Jahren du gerade noch ungefähr 5 Barren übrig hast:
5 = 100 • 0,5^x
0,05 = 0,5^x
x = ln(0,05) / ln(0,5)
x = 4,32
Das Ergebnis ist in diesem Fall natürlich ein Stück weit Quatsch, weil ich ja nur 1x pro Jahr komme.
Aber auf dein Zerfallsbeispiel übertragen: Nach 4,32 Halbwertszeiten sind noch 5% des Ausgangsmaterials vorhanden.
aus 1000 g werden 500 g nach 90 Jahren .
Denn Plutonium zerfällt
.
500 = 1000 * (0.992)^90
Achtung : Die 0.8 % sind nicht exakt ( falls du nachrechnest ), aber für die Aufgabe ist diese Ungenauigkeit nicht wichtig
.
minus „10 % (20 %, 25%)
sind 900 , 800 bzw 750 g Rest.
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800/1000 = 0.992^t .........log(arithmus) anwenden , da die Unbekannte ein Exponent ist
log(0.8)/log(0.992) = t = 27.7812............
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Wie genau kriegt man denn die 0.992 mit log weg von der zeit? Also von hinten der rechnung nach vorne?
Was ist diese Restmenge?🙂