Erwartungswert ohne Zurücklegen ausrechnen?
In einer Urne befinden sich 12 Kugeln, darunter 4 schwarze und 8 weiße. Daraus werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Die Zufallsvariable gibt an, wie viele weiße Kugeln gezogen wurden.
Wie kann ich das möglichst einfach ausrechnen? Bitte mit einer simplen Erklärung, ich hab im Thema Wahrscheinlichkeiten Verständnisprobleme. Danke im Voraus!
1 Antwort
Hallo,
das läßt sich am einfachsten über die hypergeometrische Verteilung berechnen.
Dazu mußt Du allerdings wissen, was Binomialkoeffizienten sind.
Der Binomialkoeffizient (n über k) sagt, auf wie viele unterschiedliche Arten man k Elemente aus einer Menge von n Elementen auswählen kann.
(49 über 6) gibt zum Beispiel an, auf wie viele unterschiedliche Arten man einen Tippschein für das Lotto 6 aus 49 ausfüllen kann.
Ein handelsüblicher Taschenrechner, der nicht allzu primitiv ist, kann solche Koeffizienten berechnen. Dazu haben die meisten eine Taste, auf der nCr steht.
(49 über 6) wäre zum Beispiel 49nCr6=13.983.816. Aus so vielen möglichen Ziehungsergebnissen mußt Du das Richtige erraten, um einen hohen Gewinn zu erzielen.
Es gibt 4 schwarze und 8 weiße Kugeln, aus denen 6 ausgewählt werden.
Es ist klar, daß zwischen 2 und 6 weiße Kugeln dabei sein können, denn mehr als 4 schwarze geht ja nicht, es gibt nur 4 im Topf.
Nun rechnest Du [(8 nCr W)*(4 nCr S)]/(12 nCr 6) und gibst für W nacheinander die Zahlen 2 bis 6 ein und für S entsprechend 0 bis 4, so daß sich S+W immer zu 6 ergänzen, denn so viele Kugeln werden insgesamt gezogen.
Du machst Dir eine Tabelle mit 2 bis 6 für Weiß, setzt die entsprechenden Zahlen in die Formel ein und erhältst nacheinander die Ergebnisse
1/33; 8/33; 15/33; 8/33; 1/33. Das sind die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für
2; 3; 4; 5; 6 weiße Kugeln.
Nun multiplizierst Du die Anzahl der weißen Kugeln mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten und addierst diese, also
2*1/33+3*8/33+4*15/33+5*8/33+6*1/33=4.
Das ist der Erwartungswert für die weißen Kugeln. Will heißen: Wenn Du sechs Kugeln aus den vier schwarzen und acht weißen ziehst, die Zahl der weißen Kugeln notierst, die sechs Kugeln wieder zurücklegst, durchmischst und wieder sechs Kugeln ziehst, das Ergebnis notierst, die Kugeln zurücklegst und das ganz oft wiederholst, wirst Du feststellen, daß im Schnitt vier weiße Kugeln dabei sind, wenn Du die Summe der weißen Kugeln aus allen Ziehungen durch die Anzahl der Ziehungen teilst. Je mehr Ziehungen Du machst, desto mehr wird sich das Ergebnis der 4 annähern (Gesetz der großen Zahl).
Herzliche Grüße,
Willy
Unglaublich wie gut und einfach zu verstehen du es erklärt hast! Ich danke dir vielmals!!