Erwartungswert einer Zufallsgröße berechnen?

3 Antworten

Es gibt vier Möglichkeiten, mindestens 2 rote Kugeln zu ziehen: rrr, rrs, rsr, srr. (rrs bedeutet dabei z. B.: zuerst wird rot gezogen, dann wieder rot, beim dritten Mal schwarz.) Die Wahrscheinlichkeit für "rrs" ist dabei:

P(rrs) = (6/10) * (5/9) * (4/8) =1/6,

weil beim ersten Zug 6 rote (von insgesamt 10) Kugeln vorhanden sind, beim zweiten Zug nur noch 5 rote (von 9) und danach noch 4 schwarze (von 8). "Mit einem Griff" kommt dabei auf das Gleiche heraus, wie wenn man dreimal ohne Zurücklegen hintereinander zieht.

Entsprechend gilt: P(rrr) = (6/10) * (5/9) * (4/8) = 1/6,

P(rsr) = (6/10) * (4/9) * (5/8) = 1/6,

P(srr) = (4/10) * (6/9) * (5/8) = 1/6.

Als Gesamtwahrscheinlichkeit erhält man 4/6 = 2/3. Dies multipliziert mit dem verheißenen Gewinn von 10 € ergibt den Erwartungswert 6,67 (d.h. wenn man sehr oft spielt, kann man "erwarten", dass man im Schnitt 6,67 € gewinnt). Das Spiel ist also nicht fair, da man ja schon als Einsatz 8 € zahlt.


Vielen Dank für die plausible Erklärung! Habe die a) nun verstanden. Es gibt noch eine b), die lautet:

Y sei der Gewinn pro Spiel (Auszahlung - Einsatz). Stellen sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y auf und berechnen sie den Erwartungswert Y.

Da habe ich bis jetzt erstmal:

y1: Gewinn für den Fall "mindestens 2 rote" = 2€, weil 10€-8€

y2: Gewinn für den Fall "nicht mindestens 2 rote" = -8€, weil wir keine 10€ gewinnen und 8€ Einsatz bezahlt haben

Aber wie komme ich auf die Wahrscheinlichkeiten?

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@Herbstkindx

Die Wahrscheinlichkeit für "mindestens zwei rote" war ja

P(rrr)+P(rrs)+P(rsr)+P(srr) = 4/6 = 2/3. "Weniger als zwei rote" ist das Gegenereignis davon, hat also die Wahrscheinlichkeit 1 - 2/3 = 1/3. Der Erwartungswert ist dann die Summe der Erträge (Auszahlung - Einsatz), jeweils multipliziert mit den Wahrscheinlichkeiten, also:

E(Y) = 2€ * 2/3  + (-8€) * 1/3  = (-4/3) € = -1,33 €.

Das ist das, was man, wie schon bei der Anfangsaufgabe herauskam, "im Schnitt" verliert, wenn man das Spiel sehr oft macht.

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Um den Erwartungswert zu berechnen, musst du die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten mit dem Umsatz multiplizieren.

Beachte:

Umsatz ≠ Gewinn

Umsatz heißt auch, dass du den Einsatz von 8€ mit einberechnen musst. Wenn du mit dem Zug z.B. 10€ ausgezahlt bekommst, hast du am Ende ja trotzdem nur 2€ Umsatz gemacht. Dann würdest du also die Wahrscheinlichkeit mal zwei + die nächste Wahrscheinlichkeit mal ... 

Beginn mit den den Wahrscheinlichkeiten, Null rote Kugeln bzw, drei rote Kugeln zu ziehen.

Damit kommst Du dann wohl schon weiter.

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