Dann ist er eben weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch. Das heißt aber nicht, dass er gar keine Symmetrie hat; jeder Funktionsgraph 3. Grades ist z. B. zu seinem Wendepunkt symmetrisch!

a) Da der Scheitelpunkt gegeben ist, gehen wir von der allgemeinen Scheitelpunktform der gesuchten Parabel aus: y = a (x - x0)^2 + y0.
Einsetzen der Scheitelpunktkoordinaten ergibt: y = a (x - 23)^2 + 12,5.
Um a auszurechnen, muss man jetzt nur noch die Koordinaten des Startpunktes einsetzen; das ist P(0 ; 2), da Daniela den Ball aus 2 m Höhe abwirft:
2 = a * (0 - 23)^2 + 12,5
2 = a * 529 + 12,5
-10,5 = a * 529
a = -0,0198.
Die Parabelgleichung lautet also: y = -0,0198 * (x - 23)^2 + 12,5.
b) Wir müssen herausfinden, wo der Ball auf den Boden auftrifft, d. h. den Kurvenpunkt mit y-Koordinate 0 (bei positivem x). Dazu setzen wir y in der Kurvengleichung gleich 0:
0 = -0,0198 * (x - 23)^2 + 12,5 und berechnen x:
-12,5 = -0,0198 * (x - 23)^2
629,76 = (x - 23)^2
x - 23 = 25,1 oder x - 23 = -25,1
x = 48,1 oder x = -2,1
Die negative Lösung können wir ignorieren, da sie außerhalb des Wurfbereiches liegt. Also ist x = 48,1. Wir können Daniela zum neuen Rekord gratulieren!

r sei der Radius der kleineren Pizza. Dann hat die große Pizza den Radius 2r.
Die kleine Pizza hat die Fläche r^2 * Pi,
die große Pizza hat die Fläche (2r)^2 * Pi = 4r^2 * Pi.

Die große Pizza ist also 4 mal so groß wie die kleine. Deshalb ist es egal (oder nur eine Schönheitsfrage), welches Angebot Torsten nimmt.

Wenn man die Bahnlänge an der Innenkante misst, dann besteht die Innenbahn aus einem Kreis mit dem Durchmesser 80m, mit Umfang 80*Pi, und den beiden geraden Bahnen mit 2*150, also insgesamt: 80*Pi + 2*150 = 551,33 (m).
Für die äußere Bahn mit Durchmesser 82m erhält man dann 82*Pi + 2*150 = 557,61 (m).
Die Differenz beider Strecken beträgt 557,61 - 551,33 = 6,28. Auf der äußeren Bahn braucht man also für eine Runde 6,28 m Vorgabe.
(Soweit ich weiß, wird die Bahnlänge im Laufsport 30 cm von der Innenkante entfernt gemessen; das habe ich hier einmal unberücksichtigt gelassen. Ggf. müsstest Du die Durchmesser dann mit 80,6 und 82,6 ansetzen.)

Wenn der Balken möglichst stark sein soll, dann muss die Diagonale des Rechtecks gleich dem Baumstammdurchmesser sein, also 50 cm.

Die Diagonale zerlegt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke, dabei ist die Hypotenuse 50 cm, und für die Katheten a und b gilt a : b = 4 : 5, also a = 0,8 b. Nach dem Pythagorassatz gilt dann a^2 + b^2 = 50^2, also (0,8b)^2 + b^2 = 2500. Daraus kannst du leicht b und anschließend auch a ausrechnen.

Man muss sich schon Sorgen machen, nicht nur wegen des Ölpreises. Trump möchte in zwei Jahren wiedergewählt werden. Er richtet seine politischen Aktionen nach seinen Twitter-Followern aus. Wenn er da mit großer Zustimmung rechnen kann, wird er sich nicht scheuen, anzugreifen und dazu auch, wie gewohnt, die Wahrheit zu verdrehen. Der Iran wiederum ist zu stolz, um nachzugeben; die Machthaber dort könnten ihr Volk mit religiösen Motiven in den Krieg treiben. Eine gefährliche Gemengelage!

Jakob, italienisch: Giacomo; franz.: Jacques, engl.: James, span.: Jaime. Den Namen "Jacomo" gibt es nicht, aber dem Erfindungsreichtum sind bekanntlich keine Grenzen gesetzt, und was schöner ist, ist natürlich Geschmackssache.

rot: y = 3 * sin(x) (Sinuskurve, gestreckt mit Faktor 3 in y-Richtung)

blau: y = 0,5 * sin (2x) (jeweils gestaucht mit Faktor 1/2 in x- und y-Richtung)

grün: y = 2 * sin (x + Pi/4) (gestreckt mit Faktor 2 in y-Richtung und um Pi/4 nach links verschoben. Wegen der Periodizität kann man die Kurve auch als um 3/4 Pi nach rechts verschoben auffassen: y = 2 * sin (x - 3Pi/4) )

Vor 20000 Jahren war die letzte Eiszeit noch nicht zu Ende. Große Wassermengen waren noch in Form von Eis gebunden, dadurch war der Meeresspiegel niedriger als heute, und die Beringstraße konnte trockenen Fußes überquert werden. Amerika wurde somit von Asien her besiedelt.

Ich nehme an, die Funktion ist (1/33)x^3 - 9x + 17; du hast das erste "x" vergessen!

Ansatz für die Tangente: y = mx + b. Dabei sind m und b zu bestimmen.

m ist identisch mit der Steigung der Kurve im Berührpunkt, also

m = f'(3). Das rechnest du aus und setzt es in die Tangentengleichung ein.

Außerdem hat die Tangente den Berührpunkt mit der Kurve gemeinsam. Du berechnest also y=f(3) und setzt es zusammen mit x=3 in die Tangentengleichung ein. Dort hast du jetzt nur noch eine Unbekannte b und kannst diese ausrechnen.

Die Funktionsgleichung ist schon, wie angegeben, f(x) = ax² (nicht ax²+3), weil der Koordinatenursprung im Schlauchende liegen soll.

Außerdem soll bei 1,5 m Entfernung der Wasserstrahl um 7,5 cm abgesunken sein, d.h. der Punkt (-1,5 | -0,075) liegt auf der Kurve. Dessen Koordinaten kannst du also in die Funktionsgleichung einsetzen:

-0,075 = a * (-1,5)²

-0,075 = a * 2,25

a = -0,075 / 2,25 = -1/30 = -0,033333...

Wir haben also die Funktionsgleichung f(x) = -x² / 30.

Wie weit reicht der Wasserstrahl? Gefragt ist der x-Wert, bei dem y = -3 ist, also:

-x²/30 = -3

x² = 90

x = +- 9,49

Gemäß der Zeichnung ist hier der negative Wert gefragt; für die Fragestellung spielt das aber keine Rolle. Antwort: Der Wasserstrahl reicht 9,49 m weit.

Welche Gerade soll denn berechnet werden??? Vielleicht die Tangente an den Graphen von f an der Stelle -1 (bzw. im Punkte P)?

Die Tangente hat mit dem Graphen von f an der Stelle x=-1 zweierlei gemeinsam, nämlich den Berührpunkt und die Steigung. Da die Tangente eine Gerade ist, kannst Du für ihre Gleichung den Ansatz y = k*x + d machen, siehe oben. Dann gilt:

1) k ist die Steigung der Tangente und damit auch der Kurve an der Stelle -1, also k = f'(-1). f'(-1) kannst du sicherlich allein ausrechnen (bzw. das hast du ja schon getan).

2) In der Geradengleichung muss jetzt noch d bestimmt werden, dazu setzt du dort die Koordinaten des Berührpunktes ein: Für x den gegebenen Wert -1, für y den Wert f(-1). Den musst du zuvor aus der Funktionsgleichung von f ausrechnen. Für k hast du ja schon den Wert aus Schritt 1. Die Gleichung löst du nun nach d auf.

Das hängt davon ab, was berechnet werden muss! In der Aufgabe wird nach der Sparrenlänge a gefragt; die kannst du mit Hilfe des Pythagorassatzes berechnen. Hierzu benötigst du ein RECHTWINKLIGES DREIECK. Das besteht z. B. aus der linken Hälfte des gegebenen Dreiecks. Dessen Katheten sind h und c/2 (deshalb musst du c halbieren!). Im vorliegenden Fall gilt dann:

a² = h² + (c/2)² = 3,2² + 2,4² = 16, also a = 4.

Also: Man muss nicht "immer c halbieren", sondern dies hängt von der Aufgabenstellung ab.

Ich nehme an, du möchtest wissen, wieso man auf 4 und nicht nur 2 Lösungen kommt. Das erste beigefügte Bild zeigt die Kosinusfunktion, aber natürlich nur einen Ausschnitt davon, denn diese Funktion ist periodisch und setzt sich nach rechts und links fort. Das zweite Bild zeigt die in der Aufgabe vorkommende Funktion cos (2x*Pi), die aus cos x durch Stauchung mit dem Faktor 1/(2 Pi) = 0,16 entsteht. Die 2 Perioden der cos x-Funktion zwischen 1 und 4Pi werden dabei auf das Intervall [0,2] "zusammengestaucht"; in diesem Intervall gibt es also vier Lösungen, die man so, wie gfntom agegeben hat, berechnet.

Es gibt vier Möglichkeiten, mindestens 2 rote Kugeln zu ziehen: rrr, rrs, rsr, srr. (rrs bedeutet dabei z. B.: zuerst wird rot gezogen, dann wieder rot, beim dritten Mal schwarz.) Die Wahrscheinlichkeit für "rrs" ist dabei:

P(rrs) = (6/10) * (5/9) * (4/8) =1/6,

weil beim ersten Zug 6 rote (von insgesamt 10) Kugeln vorhanden sind, beim zweiten Zug nur noch 5 rote (von 9) und danach noch 4 schwarze (von 8). "Mit einem Griff" kommt dabei auf das Gleiche heraus, wie wenn man dreimal ohne Zurücklegen hintereinander zieht.

Entsprechend gilt: P(rrr) = (6/10) * (5/9) * (4/8) = 1/6,

P(rsr) = (6/10) * (4/9) * (5/8) = 1/6,

P(srr) = (4/10) * (6/9) * (5/8) = 1/6.

Als Gesamtwahrscheinlichkeit erhält man 4/6 = 2/3. Dies multipliziert mit dem verheißenen Gewinn von 10 € ergibt den Erwartungswert 6,67 (d.h. wenn man sehr oft spielt, kann man "erwarten", dass man im Schnitt 6,67 € gewinnt). Das Spiel ist also nicht fair, da man ja schon als Einsatz 8 € zahlt.

In normalen Texten werden "ihr" und "euch" klein geschrieben wie auch die übrigen Pronomen "ich", "du", "er", "sie", "es".... Nur das "Sie", das als Anrede gemeint ist, schreibt man stets groß.

"Du", "Dir"... und "Ihr", "Euch"... schreibt man nur bei der Anrede in Briefen groß.

Wenn ein Produkt = 0 ist, auf keinen Fall ausmultiplizieren!

Wir haben ein Produkt aus den drei Faktoren 2x, x²+1 und x-5, das gleich Null ist. Also ist mindestens einer der drei Faktoren Null, d. h.

2x = 0  oder  x²+1 = 0  oder  x-5 = 0

Die erste Gleichung teilt man durch 2, bei der zweiten zieht man auf beiden Seiten 1 ab, bei der dritten addiert man auf beiden Seiten 5; das ergibt:

x = 0  oder  x² = -1  oder  x = 5

Die mittlere Gleichung ist nicht lösbar, weil  x² stets größer oder gleich Null ist, also nicht = -1 sein kann ("aus -1 kann man keine Wurzel ziehen"). Also haben wir zwei Lösungen: 0 und 5.

Du sagst es schon richtig: Das Prädikat bezieht sich auf das Wort "Gruppe". Denn das ist das Subjekt des Satzes. Es muss also "ist" heißen.

Auf der rechten Seite der Gleichung hatten sich noch zwei Fehler eingeschlichen; richtig heißt es:

-m^2 + xm + cx - c^2 = 2x^2 - 2xm - 2cx + 2cm

Das ist eine quadratische Gleichung in x; die bringst du auf Normalform:

-2x^2 + 3mx + 3cx - 2cm -c^2 = 0      |   :(-2)

x^2 - (1,5m + 1,5c)*x + cm + 0,5c^2 = 0

Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen ist dann

x = 0,75m + 0,75c +- Wurzel((0,75m + 0,75c)^2 - cm - 0,5c^2)

1) mit einem Würfel:

einfacher Wurf: P(Sechs) = 1/6; P(keine Sechs) = 5/6

vierfacher Wurf: P(4 x keine Sechs) = (5/6)^4. Das Gegenereignis hiervon ist P(mindestens eine Sechs) = 1 - (5/6)^4 = 0,5177

2) mit zwei Würfeln:

einfacher Wurf: P(Doppelsechs) = 1/36; P(keine Doppelsechs) = 35/36

24facher Wurf: P(24 mal keine Doppelsechs) = (35/36)^24, und davon wieder das Gegenereignis:

P(mindestens eine Doppelsechs) = 1 - (35/36)^24 = 0,4914

Die beiden Ereignisse sind also nicht gleichwahrscheinlich, obwohl es zunächst den Anschein hat. Auf das Ereignis mit dem Doppelwurf sollte man nicht wetten...!