Ergebnis einer n-ten Wurzel ist IMMER positiv? (bspw. 3.Wurzel von -8 = undefinierbar)
Hallo Leute.
Heute wurde mein Verständnis für Mathematik total erschüttert.
Ich meine ich dachte immer Mathematik sei logisch und nur logisch. Aber okay. Zum Problem:
Heute im Unterricht haben wir die n-te Wurzel besprochen.
EIne Regel dieser Wurzel ist (ich zitiere) "Das Ergebnis ist immer positiv." Ja okay. Das heißt dann wohl
4.Wurzel von 16 = 2 und nicht -2.
Damit kann ich leben (auch wenns irgendwie falsch ist)
Eine weitere Schlussfolgerung wäre aber dann auch, dass 3.Wurzel von -8 = undefinierbar
Das hat mich total fertig gemacht. Ich komm einfach nicht darauf, dass das so nicht stimmen darf, da die 3.Wurzel von -8 jawohl eindeutig -2 ist, oder?
Das habe ich natürlich auch angesprochen, da mir diese Regel total unlogisch erscheint. Aber mein Lehrer meinte nur dass man stattdessen
x^3=-8
x=-2
LI=(-2) , da (-2)^3 = -8
Das sei wohl möglich, aber die einfache oben genannte Lösung nicht.
Kann mir jemand erklären, warum das so ist?
Ich lasse mich mit der Erklärung "Das ist mal so beschlossen worden" nämlich einfach nicht abfinden.
Danke im Vorraus für alle Antworten.
SchiggyFan
5 Antworten
Simpel: Weil man einfach die Wurzelfunktion so definiert hat dass sie nur für positive Zahlen unter dem Wurzelzeichen definiert ist.
Warum?
Weil man ansosnten, je nacheem was da drunter steht, eine komplexe Zahl bekäme .
Und wir wollen ja nur reelle Zahlen als Antwort :-)
selbstredend ist (-2)^3=(-1)^3*2^3=(-1)*8=-8.
In dem Fall käme bei der 3. Wurzel von (-8) wohl -2 raus, logisch betrachtet.
aber wie gesagt, man hat die undefiniert gelassen für negative Zahlen weil da eben auch ne imaginäre Zahl rauskommen kann!
Ganz allgemein gesprochen:
Sagen wir mal z=a+bi wäre die Lösung der Aufgabe, halt eine komplexe Zahl.
dann gilt auch
z^3=-8
(a+bi)^3=-8
(a+bi)^2*(a+bi)=-8
(a^2+2abi+(bi)^2) *(a+bi)=-8
((a^2-b^2)+i*(2ab))*(a+bi)=-8
Die linke Seite ist dann
(a^2-b^2)*a +
(a^2-b^2)*(bi) +
(2ab)*a +
(2ab)*(bi)
=
a*(a^2-b^2+2ab) +i*b*(a^2-b^2+2ab)
was heißt das nun?
auf der rechten seite steht -8, was das selbe ist wie -8+0*i
Da imaginär und realteil übereinstimmen müssen auf beiden seiten, folgend araus die gleichungen:
a*(a^2-b^2+2ab)=-8 und
b*(a^2-b^2+2ab)=0
ohne jetzt alle möglichen Fälle durchzugehen, wollen wir den für dich interessantesten Fall durchgehen:
in der 2. gleichung ist b=0, dann ist die 2. gleichung erfüllt.
damit vereinfacht sich die 1. gleichung zu
a*(a^2)=-8
a^3=-8
was eben von -2 erfüllt wird.
demnach ist die antwort die komplexe zahl
-2+0*i, aka -2.
Problem nur:
es ist nicht die einzige Lösung!
oben haben wir aus der 2. gleichung den einen fall gefolgert wo b=0 ist.
ein fall wäre aber auch wo a^2-b^2+2ab=0 ist!
dann stünde aber in der ersten gleichung a*0=-8 was offensichtlich nicht erfült werden kann.
also widderspruch.
Und es gibt sicher noch andere Fälle, die ich übersehen habe.
Jedenfalls ist es so dass bei der Wurzel einer negaziven zahl theoretisch mehrere lösungen rauskommen können.
schließlich hat bekanntlich ein polynom vom grad 3 (was x^3+8=0 ja ist!) maximal 3 Lösungen, wenn wir nicht nur reelle sondern auch kompelxe Zahlen zulassen,d ann sind es genau 3 lösungen!
daher gibt es dann nicht mehr DIE dritte Wurzel, sondern es gibt 3 DRITTE WURZELN.
Schon allein aus dem Grund und weil man beiM Wurzelziehen ja nur reelle Zahlen als Antwort will, definiert man die Wurzelfunktion (egal welchen Grads) nur auf Zahlen >=0.
:-)
Dann hat dein Lehrer wohl vergessen den "Betrag" zu erwähnen.
Man kann aus keiner negativen Zahl die Wurzel ziehen, aber aus dem Betrag
Den Betrag von -n schreibt man so: |-n|
d.h.: 3.Wurzel aus |-8| = -2
hoffe das war richtig.
sieh dir lieber nochmal eine Definition der Wurzel und des Betrags auf Wikipedia an
Das kommt davon weil du ein anderes Beispiel erklärst in dem 3.Wurzel aus -8 = -2 ist.... das ist das selbe als würd ich behaupten. "Du kannst nicht über die Klippe springen, die ist zu breit"... und dann sagst du "Doch das geht wohl" und gehst einmal drum herum weil zufällig eine Brücke in der nähe war...
Die Behauptung ist das man keine Negative Zahl findet (außer im Komplexen Zahlenbereich) die mit sich selbst mal genommen eine ebenfalls negative Zahl ergibt... du erklärst deine Lösung mit einer Exponentialfunktion... die aber ganz andere Regeln hat.
also ich habe in der schule gelernt, dass das wohl geht, also das da minus rauskommt, allerdings sollen wir das minus nicht mit unter die klammer schreiben, aber das ist im endeffekt auch egal, also: 3.Wurzel aus -8 ist gleich -2
@SchiggyFan
Du musst zwischen dem mathematischen Sachverhalt und der Definition eines Operators unterscheiden. Dass (-2)² = 2² = 4 gilt, ist der mathematische Sachverhalt. Es ist eine Entscheidung, den Operator "Wurzel" zu definieren, und zwar so, dass er immer positiv ist. Die Entscheidung hat natürlich Gründe, aber eine Entscheidung (und eben kein Sachverhalt) ist es eben doch.
Es ist ein Sachverhalt, dass (-2)³ = -8 gilt. Es ist eine Entscheidung, ob oder ob nicht man den Operator "dritte Wurzel" für -8 definieren will. In diesem Fall gibt es Gründe, die dafür, und Gründe, die dagegen sprechen. Daher wurde hier keine verbindliche Entscheidung getroffen.
Zitat aus wikipedia:
"
Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten:
"
... wiiie lustig...