Einen Bruch zwischen zwei Brüchen finden?

Für zwei Brüche a/b und c/d gilt, dass (a+c) / (b+d) immer zwischen den Brüchen a/b und c/d liegt. Der Beweis soll einfach sein, ich komme aber nicht drauf.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Danke schon mal!

Bernd

Answer 1

[MichaelH77]

der Beweis ist für einen nicht-Mathematiker nicht ganz einfach

laut Voraussetzung gilt:

$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$

somit gilt auch:
$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$

und umgeformt (für b,d >0):
$ad<bc$

multipliziert man die Ausgangsungleichung mit dem Hauptnenner, dann kommt man auf:
ad(b+d) < bd(a+c) < bc(b+d)
ausmultipliziert und aufgeteilt in zwei Ungleichungen:
abd+ad² < abd+bcd und abd+bcd < b²c+bcd
die erste durch d dividiert, die zweite durch b:
ab+ad < ab+bc und ad+cd < bc+cd
links auf beiden Seiten ab subtrahieren, rechts cd:
ad < bc und ad < bc
das ist der Fall (siehe oben) und somit stimmt die Ausgangsungleichung zumindest für den Fall, dass b und d und somit auch (b+d) positiv sind. Für negative Werte müsste man die Rechung nochmals prüfen, da sich bei der Multiplikation mit einem negativen Wert das Ungleichheitszeichen umdreht