e Funktion schwere Aufgabe?
Der Querschnitt eines Kanals soll durch eine Funktion qk mit qk (x) = 1-e^-kx^2 beschrieben werden (eine Längeneinheit entspricht 10 m). Ben hat die Augenhöhe 1,7 m und geht auf der Ebene, die im Querschnitt durch die Gerade mit der Gleichung y =1 beschrieben wird, von links auf den Kanal zu. Berechnen Sie in Abhängigkeit von k den Ort, an dem er alle Punkte des leeren Kanals sehen kann.
das ist der Graph
2 Antworten
Man muss das minimum der steigung finden und in diesem Punkt eine Tangente anlegen und schauen wann diese Tangente den Wert 2,7 einnimmt (1m Höhe Ebene + 1,7m Augenhöhe).
Dazu setzt man die 2. Ableitung der Funktion gleich 0 und berechnet x=-(2k)^(-1/2) (Zwischenergebnis zur Probe)
Tangente an dieser Stelle anlegen und mit 2,7 gleichsetzen ergibt die Lösung für x.
Vorüberlegung: Wenn man über den Wendepunkt hinaus sehen kann, sind alle Punkte des Kanals zu sehen.
1) Wendepunkt links der y-Achse (x_w│y_w) abhängig von k bestimmen.
2) Tangente an den Wendepunkt abhängig von k bestimmen.
3) Schnittpunkt Tangente mit Gerade y = 1,17 (Maßstab beachten) abhängig von k bestimmen.
Ergänzung:
zu 1) x_WP = -√(1/(2 * k)) ; y_WP = 1 - e^(-1/2)
zu 2) y = -√(2 * k) * e^(-1/2) * x +1 - 2 * e^(-1/2)
zu 3) x_S = (-200 * √(2) - 17 * √(2 * e)) / (200 * √k)