Divergenz 0 abwohl nicht möglich?

Durch einen Zylinder symmetrisch zur z- Achse wirkt das Feld:

$E\left(x,y,z\right)\ =\ \frac{a}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\binom{x}{y}$ Wobei die z Komponente 0 ist. Jetzt soll man das Gauss Integral berechnen, indem man die div E über den Zylinder integriert.

Nur kriege ich bei div E immer 0 raus und ich verstehe nicht, was ich falsch mache, denn $div\ E\ =\ \frac{dv_x}{dx}+\frac{dv_y}{dy}+\frac{dv_x}{dy}\ =\ -\frac{ax^2}{\left(x^2+y^2\right)^{^{\frac{3}{2}}}}\ +\ \frac{a}{\left(x^2+y^2\right)^{^{\frac{1}{2}}}}-\frac{ay^2}{\left(x^2+y^2\right)^{^{\frac{3}{2}}}}+\frac{a}{\left(x^2+y^2\right)^{^{\frac{1}{2}}}}+0=\ 0$ Wobei ich wirklich Sich Term 1 und 3 in Summe mit der Summe von 2 und 4 wegheben.

Aber wenn das wirklich 0 wäre, hätte ich ein Problem, denn man soll zusätzlich das Oberflächenintegral des Feldes über die Mantelfläche berechnen und da kommt was positives bei rum, aber nach Gauss müssten Oberflächenintegral und Volumenintegral (was dann 0 wäre) gleich sein.

Ich bin wirklich am Verzweifeln und bin sehr dankbar über jede Hilfe!

Answer 1

[ChrisGE1267]

Du hast falsch zusammengefasst: Term 1 und 3 ergeben -a/(x^2 + y^2)^(1/2) nach Kürzen von x^2 + y^2, Term 2 und 4 ergeben +2a/(x^2 + y^2)^1/2; insgesamt also

$\nabla \cdot E = \frac{a}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Kosmologie, ART und Stringtheorien

Comments

[Unbekannt1613]

Danke

[ChrisGE1267]

@Unbekannt1613

Tut es ja genau im Ergebnis: Nabla * E = - a/r + a/r + a/r = a/r

[Reggid]

@Unbekannt1613

wenn du wieder verzweifeln willst dann mache das selbe beispiel aber ohne die wurzel ;-)

[ChrisGE1267]

@Reggid

Das stimmt - mit kartesischen Koordinaten bei radialsymmetrischen Problemen wird mir auch immer ganz schwindelig…😵‍💫

[Reggid]

@ChrisGE1267

wobei das "problem" dass die divergenz in dem fall überall außer bei r=0 in der tat 0 ist nichts mit dem koordinatensystem zu tun hat.