Bruch zum ganzzahligen Körper?

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2 Antworten

Nach was du suchst sind die multiplikativen Inversen der Elemente, also wie man in Z/7 z.B. den Bruch 1/3 darstellt.

Lies dir am besten mal den Wikipedia-artikel "Lemma von Bézout" durch, vor allem den Beweis, denn dann siehst du, woher das folgende kommt:

Sind zwei ganze Zahlen a, b gegeben, dann bezeichne ggt(a,b) den größten gemeinsamen Teiler von a und b.

Dann existieren ganze Zahlen x, y, sodass ax + by = ggt(a,b).

Wieso nützt uns das? Wir wollen das multiplikative Inverse von a != 0 mod p herausfinden, und rechnen in Z/p (wichtig, dass p eine Primzahl ist).

Wir bekommen ganze Zahlen x und y, sodass ax + py = 1, da a kein vielfaches von p ist und p eine Primzahl, ist also ggt(a,p) = 1.

Wenn du dir diese Gleichung einmal anschaust, dann siehst du, dass py = 0 mod p, du bekommst also, dass a x = 1 mod p, also ist dieses x genau das multiplikative Inverse von x mod p, also könntest du symbolisch schreiben: "x = 1/a". Das ist natürlich unformell, aber wir schreiben es einfach mal so.

Das wichtige ist das Finden dieses x, das macht man mit dem euklidischen Algorithmus.

Beispiel: Wir wollen "1/4" in Z/7 berechnen, also rechnen wir einfach mal durch:

7 = 1 * 4 + 3

4 = 1 * 3 + 1

3 = 3 * 1 + 0

Jetzt rückwärts immer in die obere Gleichung einsetzen:

1 = 4 - 1 * 3 = 4 - 1 *(7 - 1 * 4) = 2 * 4 - 1 * 7, also ist 2 das multiplikative Inverse von 4, oder symbolisch: "1/4 = 2".

Wir rechnen nach: 2 * 4 = 8 = 1 mod 7, also stimmt alles.

LG

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Ja, wenn a / b mod p keine ganze Zahl ist kannst du stattdessen (a+p) / b berechnen.

Beispiel für Z7:
3 / 5 = 10 / 5 = 2 mod 7.

Probe: 2 * 5 = 10 = 3 mod 7.

Evtl musst du den Schritt der Addition von p mehrfach ausführen.
Bsp wieder für Z7:
4 / 3 = 11 / 3 = 18 / 3 = 6 mod 7

Probe: 3 * 6 = 18 = 4 mod 7.

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