brauche hilfe in mathe (stochastic 9.klasse)?

Question

hey,
kann das irgendwer von euch?
Wenn ja, bitte meldet euch!!!
Schreibe Freitag eine Arbeit..
Ich habe etwas hinzugef&uuml;gt, wo L&ouml;sungen schon vergeben sind.
Ich verstehe die Rechenwege aber nicht.

LUKEars · Answer

ohne die Aufgabe ist es schwer, dir zu helfen...

grundsätzlich gilt, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Möglichkeiten, die von einem gemeinsamen Punkt ausgehen Eins sein muss... z. B. ist die Wahrscheinlichkeit von „Test positiv“ plus die Wahrscheinlichkeit von „Test negativ“ also Eins, weil es ja keine dritte Möglichkeit gibt...

dann gibt es bei Tests immer das Problem, dass deren Ergebnis falsch sein kann... z. B.: „falsch positiv“ und „falsch negativ“

also: Test ist negativ, obwohl gedopt wurde...

von der Wurzel kann man einen Pfad definieren, der immer nach rechts bis zum Ende führt... also: wir fangen bei gedopt an (nach oben), dann biegen wir nach unten ab (negativer Test)... dann multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten an diesem Pfad.. also (1/50)*(1/10)=1/500...

wenn man schon Wissen reinsteckt, hat man eine bedingte Wahrscheinlichkeit und muss an der Stelle im Spielbaum einsteigen, wo die Bedingung bereits erfüllt ist... dann geht es normal nach rechts weiter...

man kann auch mehrere Pfade betrachten und deren Wahrscheinlichkeit summieren... oder man benutzt diese Vier-Felder-Tafel...

jake20420 · Answer

Hallo alle zusammen,
diese Antwort ist weniger für die Fragestellerin selbst als vielmehr für alle gedacht, die das jetzt noch lesen und gerne eine Antwort hätten, um den ganzen Wahrscheinlichkeitskram zu verstehen.
In der Abbildung, die die Fragestellerin geschickt hat, ist ganz oben eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten angegeben. Die Daten dürften fiktiv sein, da es sich ja nur um eine Fingerübung für die Schule handelt.
Insgesamt sind 5000 Personen getestet worden. Von denen, deren Test positiv ausgefallen ist, waren 90 tatsächlich gedopt (richtig positiv) und 245 tatsächlich nicht gedopt (falsch positiv). Von denen, deren Test negativ ausgefallen ist, waren 10 tatsächlich gedopt (falsch negativ) und 4655 tatsächlich nicht gedopt (richtig negativ). Es gibt insgesamt 335 positiv getestete und 4665 negativ getestete Personen sowie 100 tatsächlich gedopte und 4900 tatsächlich nicht gedopte Personen. Soweit zur Beschreibung der Tabelle.
Unter der Tabelle findet sich jetzt ein Wahrscheinlichkeitsbaum (liegend, nicht hängend, was auch möglich wäre). Die im Wahrscheinlichkeitsbaum angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind relative Häufigkeiten, die sich aus der Tabelle errechnen lassen. Ganz links ist die Wurzel des Wahrscheinlichkeitsbaums. Davon ausgehend werden zunächst die unbedingten Wahrscheinlichkeiten dafür angegeben, dass eine Person tatsächlich gedopt oder tatsächlich nicht gedopt ist. Die Zahlen dafür sind in der Tabelle in der Randverteilung ganz rechts zu sehen. Es sind 100 von 5000 Personen gedopt. Das entspricht 1/50 aller getesteten Personen. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person gedopt ist, 1/50. 4900 von 5000 getesteten Personen sind tatsächlich nicht gedopt. Das entspricht 49/50 aller getesteten Personen. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nicht gedopt ist, 49/50. In der zweiten Verzweigungsebene werden jetzt die Wahrscheinlichkeiten dafür angegeben,

dass eine Person jeweils positiv bzw. negativ getestet wurde unter der Bedingung, dass die Person gedopt ist;
 dass eine Person jeweils positiv bzw. negativ getestet wurde unter der Bedingung, dass die Person nicht gedopt ist.

Von den 100 tatsächlich gedopten Personen sind 90 positiv getestet worden. Das entspricht 9/10 der tatsächlich gedopten Personen. Die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine tatsächlich gedopte Person auch positiv getestet wird, beträgt 9/10. Von den 100 tatsächlich gedopten Personen sind 10 negativ getestet worden. Das entspricht 1/10 der tatsächlich gedopten Personen. Die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine tatsächlich gedopte Person auch negativ getestet wird, beträgt 1/10.
Von den 4900 tatsächlich nicht gedopten Personen sind 245 positiv getestet worden. Das entspricht 1/20 (245/499 = 1/20) der tatsächlich gedopten Personen. Die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine tatsächlich nicht gedopte Person auch positiv getestet wird, beträgt 1/20. Von den 4900 tatsächlich nicht gedopten Personen sind 4655 negativ getestet worden. Das entspricht 19/20 (4655/4900 = 19/20) der tatsächlich nicht gedopten Personen. Die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine tatsächlich nicht gedopte Person auch negativ getestet wird, beträgt 19/20.
Das sind die Zahlen, die in der Abbildung im Wahrscheinlichkeitsbaum angegeben sind. Anzumerken wäre noch, dass durch Multiplikation entlang der Pfade die unbedingten Wahrscheinlichkeiten für alle vier Felder der Vierfeldertafel errechnet werden können. Beispielsweise ergibt die Multiplikation der Wahrscheinlichkeit, gedopt zu sein (1/50) mit der Wahrscheinlichkeit, unter der Bedingung, gedopt zu sein, auch positiv getestet zu werden (9/10) die unbedingte Wahrscheinlichkeit, unter allen getesteten Personen sowohl gedopt als auch positiv getestet zu sein (1/50 mal 9/10 = 9/500). Dieselbe Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Tabelle, wenn alle, die gleichzeitig tatsächlich gedopt und positiv getestet sind (das sind 90 Personen) durch alle getesteten Personen (das sind 5000 Personen) geteilt werden (90/5000 = 9/500).
Soweit zum Wahrscheinlichkeitsbaum. Nun zu den weiteren Aufgaben. Hier muss immer auf die Formulierung geachtet werden, um herauszufinden, ob unbedingte oder bedingte Wahrscheinlichkeiten gemeint sind. Der Unterschied ist die Zahl im Nenner des Bruchs. Bei unbedingten Wahrscheinlichkeiten ist der Nenner immer 5000. Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten ist der Nenner immer die entsprechende Randverteilungssumme. Das kann 100 (alle tatsächlich gedopten Personen), 4900 (alle tatsächlich nicht gedopten Personen), 335 (alle positiv getesteten Personen) oder 4665 (alle negativ getesteten Personen) sein.
»Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Sportler gedopt ist und sein Test negativ ist.«
Hier ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit »gedopt« und »Test negativ« gemeint. Dazu muss die absolute Häufigkeit der entsprechenden Zelle (das sind 10 Personen) durch die Anzahl der insgesamt getesteten Personen (das sind 5000 Personen) geteilt werden. Das Ergebnis ist 1/500.
»Wahrscheinlichkeit, dass ein gedopter Sportler einen negativen Test bekommt.«
Hier ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gemeint, dass eine Person einen negativen Test bekommt, vorausgesetzt, diese Person ist gedopt. Dazu muss die absolute Häufigkeit der Zelle »gedopt/Test negativ« (das sind 10 Personen) durch die Anzahl aller gedopten Personen (das sind 100 Personen) geteilt werden. Das Ergebnis ist 1/10.
»Wahrscheinlichkeit, dass ein durchgeführter Test positiv ist.«
Hier ist eine Randverteilungswahrscheinlichkeit gefragt, die als solche natürlich unbedingt ist. Von den 5000 getesteten Personen sind 335 positiv getestet worden. Das ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 335/5000 = 0,067 = 6,7 Prozent (Taschenrechner).
»Wahrscheinlichkeit, dass der Sportler nicht gedopt ist.«
Die angegebene Lösung passt nicht zur Formulierung. Wenn die Formulierung als stimmig betrachtet wird, dann ist hier eine Randverteilungswahrscheinlichkeit gefragt, die als solche natürlich unbedingt ist. Von den 5000 getesteten Personen sind 4900 tatsächlich nicht gedopt. Das sind 49/50 bzw. 98 Prozent. Wenn die angegebene Lösung (4655/4665 oder ungefähr 99,79 Prozent) stimmig sein sollte, dann hätte nach der »Wahrscheinlichkeit, dass ein negativ getesteter Sportler nicht gedopt ist« gefragt werden müssen.
Zur letzten Aufgabe: Da ist die Lösung, denke ich, sehr klar formuliert. Die Zellen »gedopt/Test positiv« (90 Personen) und »nicht gedopt /Test negativ« (4655 Personen) geben die absoluten Häufigkeiten an, mit denen jeweils richtige Testergebnisse erzielt worden sind (entweder richtig-positiv oder richtig-negativ). Zusammen sind das 4745 richtige Testergebnisse. Wenn diese 4745 richtigen Testergebnisse durch die 5000 insgesamt durchgeführten Tests geteilt werden, dann ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 4745/5000 = 0,949 = 94,9 Prozent, dass das Ergebnis eines durchgeführten Tests richtig ist.
Soweit an dieser Stelle. Viele Grüße
jake20420

brauche hilfe in mathe (stochastic 9.klasse)?

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