Begründen sie?
1) je kleiner der Winkel a(alpha), desto kleiner auch der cos(a) Warum?
2) für kleine Winkel gilt sin(a) ~ a (alpha)
3) Wenn man den Winkel a verdoppelt, so verdoppelt sich auch tan(a)
bitte begründen sie warum
4 Antworten
1) gilt z. B. für negative Winkel zwischen -pi und 0. Hier ist die Steigung des cos positiv. (Siehe Graph oder cos'(a) = -sin(a))
2) Bezieht sich auf das Bogenmaß. Taylor-Entwicklung des Sinus im Bogenmaß:
sin(x) = x - 1/3! x^3 + 1/5! x^5 -+ ... = x + O(x^3)
3) Bezieht sich ebenfalls auf das Bogenmaß und gilt ebenfalls nur für kleine Winkel.
Begründung entweder ebenfalls über das Taylor-Polynom (kompliziert) oder über
tan(a) = sin(a) / cos(a)
und cos(x) = 1 - 1/2! x^2 + 1/4! x^4 -+ ... = 1 + O(x^2)
und 1/(1-x) = 1 + x + O(x^2)
=> tan(a) = (a + O(a^3)) (1 + 1/2! a^2 + O(a^4))
= a + 1/2! a^2 + O(a^5) + O(a^3) + O(a^5) + O(a^7)
= a + O(a^2)
1) je kleiner der Winkel a(alpha), desto kleiner auch der cos(a) Warum?
Es ist genau umgekehrt, siehe Grafik.
2) für kleine Winkel gilt sin(a) ~ a (alpha)
Kann ich noch nichts dazu sagen.
3) Wenn man den Winkel a verdoppelt, so verdoppelt sich auch tan(a)
Stimmt auch nicht , siehe Grafik. Tangens von 45 grad ist 1.
Der Tangens von 90 grad wird unendlich.
1) die Ankathete wird kürzer, dementsprechend ändert sich der Wert
2) bin ich mir nicht zu 100% sicher. Es ist einfach eine Vereinfachung.
3) das selbe Prinzip, wie bei deiner anderen Frage. nur wird hier verdoppelt statt halbiert.
Veranschaulichung:
blau: sinus, rot: cosinus
- kann ich nicht nicht bestätigen. Es ist umgekehrt. Ausserdem sollte angegeben werden in welchem Periodenabschnitt.
sin(a) ~ a (alpha) dürfte stimmen, da sin(x) bei x=0 eine Steigung von 1 hat. Ableitung von sinus ist nämlich cosinus.