Basis eines Kerns?
Welche der folgenden Abbildungen f : K3×1 → K2×1 sind linear? Bestimme für eine lineare
Abbildung f auch Basen von ker f und f (K3×1)
(x1,x2,x3)T↦(x21+x22,0) für K=R,Z2
Mir ist klar, dass ich Additivität und Homogenität nachprüfen soll.Nur verwirrt mich der Funktionsausdruck ein bisschen. Was setze ich in f(x+y)= f(x)+f(y) ein? Und wie soll man die Basis des Kerns bestimmen bzw. von f(K3x1)?
1 Antwort
f(x+y)= f(x)+f(y) setzt du so an:
((x1+y1)2 + (x2+y2)2, 0) = (x21+x22, 0) + (y21+y22, 0)
In der zweiten Komponente ist das natürlich witzlos. In der ersten hängt das stark vom zugrunde liegenden Körper ab (R oder Z2). Bei Z2 musst du durchprobieren, zum Glück gibt es dann nicht so viele Möglichkeiten für x1 y1, x2, y2.
Die Basis des Kerns bestimmst du, nachdem du den Kern bestimmt hast ((x21+x22, 0) = (0, 0). Auch das hängt stark vom zugrunde liegenden Körper ab (R oder Z2).
Wenn es schon mit der Additivität nicht hinhaut, brauchst du die Homogenität nicht mehr zu zeigen. Mit deiner Aussage bin ich übrigens nur für R einverstanden, für Z2 solltest du nochmal genauer hinschauen. Du musst alle Möglichkeiten für x1und y1 (0 oder 1) durchprobieren, wobei 1+1=0.
Ja für diesen Fall trifft bei allen Möglichkeiten zu, dass die Abbildung linear ist. Einfach zbsp x1=0, y1=1. Sowie bei der Additivität als auch Homogenität
Ja also ist die Abbildung nicht linear. Muss man dann die Multiplikation mit dem Skalar aus dem Körper noch zeigen? Oder wie ist das mit dem Z_2 genau gemeint?