Anzahl der Kugel einer dreiseitigen Kugelpyramide berechnen
Wie kann ich allgemein die Anzahl von Kugeln berechnen, aus denen eine dreiseitige Pyramide gebaut werden kann. Matheprofis können mir da bestimmt eine allgemeingültige Formel nennen.
3 Antworten
na so schwer ist das doch nicht.
jede schicht hat (i²+i)/2 kugeln, das muss man nur noch aufsummieren:
=1/2 * (summe i + summe i²) = 1/2 * [ (n²+n)/2 + n(n+1)(2n+1)/6 ]
=(n³+3n²+2n)/6
is jetzt nur runtergetippt aber müsste passen
Die Pyramide besteht aus 6 Schichten also:
1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² = 6 * 7 * 13 / 6 = 91
Eine Pyramide die aus n Schichten besteht besteht aus:
n(n + 1)(2n + 1)/6 Kugeln.
Aber deine Formel bezieht sich jetzt doch auf eine vierseitige Pyramide wenn ich richtig verstehe. Wie muss ich die formel abändern um die Anzahl der Kugeln für eine 3 seitige Pyramide zu berechnen?
Also ich bin zwar kein Mathematiker, aber Dein Problem ist eigentlich auch recht simpel:
Oben wird mit 1 Kugel angefangen, in der 2ten Schicht liegen bereits 3. Wenn du jetzt die dritte Schicht darunter betrachtest, ist sie wie die zweite Schicht, bloss nochmal 3 Kugeln rangelegt, wenn du die 4 Schicht betrachtest ist sie wie die Dritte Schicht, bloss nochmal 4 Kugeln rangelegt). Wenn du die 5te Schicht beterachtest, ist sie wie die 4te Schicht, bloss nochmal 5 Kugeln rangelegt....und immer so weiter....hoffe das ist verständlich ausgedrückt.
(Die Kantenlänge jeder Seite wächst also immer um 1. )
Sobald Du die Anzahl der Schichten des Tetraeders weisst, kannst du leicht die Anzahl der Kugeln ausrechnen, nämlich für z.b. Schicht 8 : 8+7+6+5+4+3+2+1. Oder für Schicht 4: 4+3+2+1.
Jetzt nur noch die einzelnen Schichten addieren.
Lässt sich sehr leicht z.b. programmtechnisch umsetzen mit einer inneren (für die Anzahl der Kugeln in einer Schicht) und einer äusseren Schleife( Zum Addieren der Anzahl der Kugeln in den einzelnen Schichten).
Allerdings gibt es sicherlich effektivere Lösungen.
Das habe ich nun auch schon gemerkt. Wahrscheinlich werde ich nie eine Lösungsformel bekommen.
Kurz in einer Formel zusammengefasst: