Änderungsgraphen Zeichen?
Leute,
ich habe hier meinen funktionsgraphen und soll dazu den änderungsgraphen zeichnen. Wie geht man da vor ? Und wie zeichnet man so etwas überhaupt ?
4 Antworten
Kurvendiskussion zu f(x) = -3x^2 + 4x:
Zuerst suchen wir die Nullstellen der Funktion:
Dann bilden wir die Ableitungen, weil wir die für die Extrema und Wendepunkte benötigen:
Und nun suchen wir die Extrempunkte und Wendepunkte:
Jetzt können wir noch die Steigung (Tangente) in den Nullstellen ermitteln. Dazu setzen wir den x-Wert der Nullstellen in die 1. Ableitung ein:
f'(0) = -6*0 +4 = 4
f'(1,33) = -6*1,33 +4 = - 4
Mit diesen Angaben und dem Wissen, dass das eine "umgedrehte" Parabel ergeben muss, sollte sich die Kurve sehr exakt zeichnen lassen.
Richtig. Es gibt zwei Wege.
Der erste wäre der rein rechnerische über die Kurvendiskussion. Der ist exakter, aber auch deutlich aufwändiger.
Der zweite wäre der grafische, den ich auch aufgezeigt habe. Der ist zwar nicht ganz so exakt, aber deutlich einfacher und schneller. Nur ein Beispiel: rechnerisch über die Kurvendiskussion ergaben sich die Maxima bei 0,667 und 1,333. Abgelesen im Graphen der Ausgangsfunktion kam ich auf 0,7 und 1,3. Das ist nicht so genau, aber in der Praxis stelllt sich häufig die Frage, brauche ich es denn wirklich sao genau oder betreibt man da eventuell geistige Selbstbefriedigung?
Oft ist eine einfache und schnellere Lösung doch die praktisch bessere. So rechnen z.B. Ingenieure fast nie bei der Erdbeschleunigung mit 9,81 m/s^2, sondern fast immer mit 10 m/s^2, weils viel schneller und einfacher, ja sogar leicht im Kopf zu rechnen geht.
Wenn du auf meine letzten beiden Fragen schaust würde ich mich freuen (: du hast bis jetzt meiner Meinung nach am besten geantwortet
lg
f(x) = -x^3 + 2x^2
Der "Änderungsgraph" ist die erste Ableitung:
f'(x) = -3x^2 + 4x
Der Änderungsgraph hat also die Form einer Parabel (wegen x^2 als höchste Potenz)
Diese Funktion soll gezeichnet werden. Um eine Funktion zu zeichnen, brauchen wir die Nullstellen, die Maxima und die Wendepunkte. Günstig wäre zusätzlich, in den Nullstellen und den Wendepunkten auch die Steigung der Tangenten zu haben.
Wir also eine vollständige Kurvendiskussion durchführen. Auf Wunsch kann ich die Vorrechnen.
Wenn allerdings der Ursprungsgraph schon als Zeichnung vorliegt, gehts auch einfacher.
Ursprungsgraph:
Als erstes sehen wir die Nullstelen der Änderung, das sind die Hoch- und Tiefpunkte der Ursprungsfunktion. Die Änderung ist dort 0, weil die Tangente waagrecht liegt.
Nullstellen: N1 bei x = 0; N2 bei x = 1,3
Nur zwischen diesen beiden Maxima (Nullstellen von f') ist die Steigung positiv, ansonsten überall negativ. Wir erhalten also sozusagen eine nach unten offene Parabel.
Nun müssen wir das Maximum der Parabel ablesen. Der höchste positive Wert der Steigung liegt am Wendepunkt. den lesen wir bei x = 0,7 ab. Da legen wir die Tangente rein und schätzen deren Steigung m ab. Ich kriege da in etwa 1,3 raus. Da liegt also das Maximum des Änderungsgraphen.
Mit den beiden Nullstellen, dem Maximum und der Erkenntnis, dass der Änderungsgraph eine nach unten offene (verkehrte) Parabel ist, können wir ihn eigentlich auch schon zeichnen:
Also ist der änderungsgraph eine Parabel ? Und kannst du die Kurvendiskussion vorrechnen?
Ja, wegen x^2 als höchster Potenz. Die höchste Potenz gibt immer die Grundform der Kurve vor. Und weil ein Minus davor steht, ist sie sozusagen umgedreht.
Ach ja, die Kurvendiskussion mache ich in einer neuen Antwort, weil ich nur da Bilder einfügen kann.
Zuerst nimmst Du Dir am Besten die Extremstellen vor: da ist die Ableitung (Steigung) ja bekanntlich Null. An den Wendepunkten hat die Ableitung ihre Extremstellen.
Ansonsten sind halt da, wo der Graph fällt die Werte der Ableitung negativ (unter der x-Achse) und bei steigendem Graphen positiv.
Daraus kann man schon recht gut den Verlauf der Ableitung skizzieren.
(Je steiler der Graph verläuft, desto weiter sind die entsprechenden Punkte der Ableitung von der x-Achse entfernt)
Könntest du mal zu irgendeiner Funktion ein Beispiel machen damit man es Bildlich hat?
danke und lg
Guck Dir einfach mal z. B. f(x)=x³-3x²-1 an. Hier hast Du 2 Extremstellen bei x=0 und x=2 - dies sind bei der Ableitungsfunktion [f'(x)=3x²-6x] die Nullstellen.
Zwischen den Extremstellen ist bei x=1 eine Wendestelle. Dort ist bei der Ableitung die Extremstelle (=Scheitelpunkt, da dies hier eine Parabel ist); wo genau kann man ohne etwas genauer hinzuschauen/rechnen nicht sagen, ist aber bei einer Skizze nicht ganz so dramatisch!
Bis zum ersten Extrempunkt x=0 steigt die Funktion, d.h. die Ableitungsfunktion verläuft über der x-Achse. Zwischen den Extremstellen sinkt die Funktion, d. h. die Ableitungsfunktion verläuft hier unter der x-Achse.
Lasse Dir von einem Plotter einige Beispiele zeichnen (Graph inkl. Ableitung), und vergleiche diese markanten Stellen; dann wirds klarer als durch solche Beschreibungen wie meine hier...
ich habe hier meinen funktionsgraphen
Dann nenn die Funktion doch einfach mal, damit man was konkretes als Beispiel hat. Sonst wirds mit zu vielen Wenn und Aber einfach zu kompliziert.
Eine kurze Frage: die Kurvendiskussion ist doch gar nicht nötig oder ? Ich kann die Parabel doch auch ohne die Kurvendiskussion machen?