Addiert man die Quadrate zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, so erhält man 113. Wie lauten die beiden Zahlen? Wer kennt dazu den Lösungsweg?

Hallo, es geht auch ohne große Rechnerei:

Quadratzahlen haben als Endziffern nur 0,1,4,5,6 und 9

Es gibt nur eine Ziffernkombination, die als Summe die Endziffer 3 wie bei 113 ergibt, nämlich die 4 und die 9.

Du brauchst also nur noch zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen zu suchen, die als Endziffer 4 und 9 haben und die im Hunderterraum liegen.

4+9=13, das ist zu wenig. Welche sind die beiden nächsten Kandidaten?

Herzliche Grüße,

Willy

Eine mathematisch wenig elegante Lösung:

113/2 = 56,5

Quadratzahlen höher und niedriger al 56,5 sind 49 und 64. 49 + 64 ergeben zusammen 113, die Wurzeln sind 7 und 8, zwei aufeinanderfolgende Zahlen.

n² + (n + 1)² = 113
Diese Gleichung haben andere geschrieben, man kännte stattdessen auch
 n² + (n - 11)² = 113
schreiben. In diesem Fall ist n die höhere der gesuchten Zahlen.

Man könnte auch mit 2 Variablen arbeiten a und b:
a² + b² = 113
b - a = 1

Wenn man dann das Einsetzungsverfahren anwendet, kommt man wieder auf n² + (n + 1)² = 113 bzw. n² + (n - 1)² = 113, allerdings mit a oder b.

Du nimmst einfach zwei beliebige Zahlen, die aufeinander Folgen und rechnest dann hoch zwei oder z.B. 7x7. In deinem Fall wären das die 7 und die 8.

113 = x²+(x+1)² = 2x² + 2x + 1 

113 abziehen und MNF...

Dazu kannst du eine Gleichung aufstellen.

Eine natürliche Zahl nennen wir n, den Nachfolger n + 1.

Die Quadrate der beiden Zahlen sind n² und (n + 1)².

Also gilt: n² + (n + 1)² = 113

Diese Gleichung können wir nun auflösen:

n² + (n + 1)² = 113
n² + (n² + 2n + 1)
2n² + 2n + 1 = 113
2n² + 2n - 112 = 0

Wenn du diese quadratische Gleichung nun mit einer Lösungsformen (pq-/abc-Formel) löst, erhältst du:

n = -8 ∨ n = 7

In der Aufgabenstellung ist von natürlichen Zahlen die Rede und da natürliche Zahlen definitiv nicht negativ sind, fällt die Lösung n = -8 schon mal weg.

Somit ist n = 7.

LG Willibergi