-1^unendlich?

9 Antworten

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Ja, die Folge (-1)^n konvergiert im üblichen Sinne nicht, denn es gibt zwei Unterfolgen, die jeweils gegen verschiedene Werte streben, nämlich

  • (-1)^2n —> 1
  • (-1)^{2n+1} —> -1

Ob unendlich (=ω) gerade oder ungerade ist? Ich glaube, in einem gewissen Sinne gilt beides. Doch wie definiert man „gerade“ und „ungerade“ für unendliche Zahlen?…


Ich gehe dieses Problem folgendermaßen ein. Zunächst einmal stellt man Zahlen mittels Mengen dar:

  • die Zahl 0 sei die Menge mit nichts drin {}, die leere Menge
  • die Zahl n sei eine Menge mit n Elementen, und da 0, 1, …, n–1 bis jetzt schon als paarweise verschiedene Mengen definiert worden sind, sei n := {0; 1; …; n–1}. Diese Menge ist auch offenbar verschieden von den vorigen Zahlen, weil sie genau n Elemente enthält, während die vorigen Zahlen/Mengen weniger als n.

Die Zahl Unendlichkeit im Sinne von einem Grenz der natürlichen Zahlen ist die sog. erste unendliche Ordinalzahl, ω := {0; 1; …; n; n+1; … } (eig. ist gleich die Zahlmenge N). (Man kann weiter gehen: ω+1 = {0; 1; …; n; n+1; … ω}, ω+2 = {0; 1; …; n; n+1; … ω; ω+1}, usw. Es ist wirklich krank, und man merkt sofort, es gibt mehr als nur die eine Unendlichkeit)

Man kann nun die Definition von Geradesein verallgemeinern wie folgt:

  • Eine Menge A heißt dann gerade, wenn es eine Involution f : A —> A gibt mit f(x) ≠ x für alle x. (Eine Funktion g : X—>X heißt dann eine Involution, wenn g○g = Id, d. h., g(g(x)) = x.)
  • Eine Menge A heißt dann ungerade, falls es einen Punkt x₀ ∈ A gibt, so dass A \ {x₀} ist gerade.

Man kann zeigen

  • (1.) Für jedes n eine natürliche Zahl die Menge mit n Elementen, A := {0; 1; …; n–1}, ist gerade (bzw. ungerade) <==> n ist gerade (bzw. ungerade). Also ist
  • (2.) Jede Menge ist entweder gerade oder ungerade.
  • (3.) Unendliche Mengen sind beide gerade und ungerade.

Punkt (3) kann man umgehen, wenn die Rahmen der Definition etwa beschränkter sind. (Zum Beispiel, was A ist, welcher Klasse Funktionen die Involutionen gehören sollen.)


Zurück zu deiner Frage: Nach dieser Definition ist ω sowohl gerade als auch ungerade:

  • die Funktion f : ω —> ω definiert durch f(2k) = 2k+1 und f(2k+1) = 2k für k in N, zeigt dass ω gerade ist.
  • die Funktion f : ω{0} —> ω{0} definiert durch f(2k) = 2k-1 und f(2k-1) = 2k für k in N{0}, zeigt dass ω{0} gerade ist und mithin dass ω ungerade ist.
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Dass muss lesen: N \ {0} und ω \ {0}.


P. S: zu den nichtkonvergierenden Folgen… eine andere interessante Frage lautet:

  • wie kann man sinnvoll ∑ (-1) ^n definieren?

Da die partiellen Summen zwischen 0 und 1 schwanken, könnte man den Wert 1/2 wählen. Doch wie rechtfertigt man dies? Hinweis: man betrachtet die Summe ∑ x^k, wenn sie konvergiert.

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@kreisfoermig

Ach ja, und der Punkt wäre etwa: dass Unendlich beides gerade und ungerade ist, ist im etwa Einklang mit der Tatsache, dass sich (-1)^ω als Grenzwert der Folge (-1)^n nicht als genau eine von +1 oder -1 definieren lässt.

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Besonders sinnvoll ist das ja tatsächlich nicht.

Unterstellt man einmal 1 hoch unendlich sei gleich 1, weil es völlig gleichgültig ist, wie oft man 1 mit sich selber multipliziert, erhält man als Ergebnis für (-1) hoch unendlich alternierend die Zahlen

+1 und -1

Die einzig sinnvolle Definition von (-1)^unendlich wäre der Grenzwert der Folge

(-1)^n mit n -> unendlich.

Diese Folge hat aber keinen Grenzwert. Also ist (-1)^unendlich nicht definiert - und damit hat die Frage, ob gerade oder ungerade auch nicht sinnvoll.

Auch für unendlich (verstanden als Grenzwert von n, n-> unendlich) lässt sich diese Frage nicht beantworten, auch dieser Grenzwert existiert nicht.

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