ungerade primzahlen?
eine primzahl ist durch sich selbst und durch 1 teilbar. gibt es endlich oder unendlich viele ungerade primzahlen? meiner meinung nach unendlich viele, oder hört die reihe irgendwann auf?
9 Antworten
ich würde sagen es gibt unendlich viele:
Beweis, daß es unendlich viele Primzahlen gibt:
Der folgende Beweis geht auf den antiken Mathematiker Euklid (genauer: Euklides von Alexandria) zurück. Wir nehmen versuchsweise an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen. Wenn dies wahr wäre, dann müßte es eine größte aller Primzahlen geben, und diese bezeichnen wir mit n. Die Liste aller Primzahlen wäre dann
2, 3, 5, 7, 11, 13, ... n. (1) Daß allerdings diese Annahme nicht stimmen kann, wird offenbar, wenn die Zahl 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × ... × n + 1 (2) (d.h. das Produkt aller Primzahlen plus 1) betrachtet wird: Diese Zahl wäre sehr viel größer als n, könnte also keine Primzahl sein. Folglich müßte sie einen (von 1 und ihr selbst verschiedenen) Teiler besitzen. Dieser Teiler könnte in ein Produkt von Primzahlen zerlegt werden, und alle diese Primfaktoren müßten die Zahl (2) teilen. (Wenn eine Zahl z.B. von 10 geteilt wird, dann auch von den Primfaktoren 2 und 5). Es müßte also zumindest eine Primzahl geben, die (2) teilt.
Andererseits läßt sich (2) nicht restlos durch irgendeine Primzahl unserer Liste 2, 3, 5, ... n dividieren, da immer Rest 1 bleibt!!! Es gäbe also eine Primzahl, die nicht in unserer Liste vorkommt! Das widerspricht aber der Annahme, daß wir in (1) alle Primzahlen aufgezählt haben!
Die Annahme, es gäbe nur endlich viele Primzahlen führt auf einen (logischen) Widerspruch, kann also nicht wahr sein! (Denn es gilt ganz allgemein: Eine Ausage, aus der sich ein Widerspruch konstruieren läßt, muß falsch sein).
Damit ist bewiesen:
Es gibt unendlich viele Primzahlen. Diese Art, einen Sachverhalt zu beweisen, wird ''indirekte Beweisführung'' genannt: Läßt sich aus der Annahme, das Gegenteil einer Aussage sei wahr, ein Widerspruch konstruieren, so muß die Aussage wahr sein!
Warum schreibst du ungerade Primzahlen? Dass sie alle außer 2 ungerade sind, ist klar.
Und es gibt unendlich viele Primzahlen, das hat schon Euklid vor über 2000 Jahren bewiesen.
Primzahlen sind alle ungerade, außer der 2, es gibt unendlich viele davon, einige Rechner arbeiten daran.
Es gibt unendlich viele: http://de.wikipedia.org/wiki/SatzvonEuklid
Es gibt unendlich viele Primzahlen. Wären die Primzahlen endlich, dann würden viele Dinge, wie zB. die Verschlüsselung im Internet, nicht funktionieren.