Also erstmal von der Wortherkunft her: Die Vorsilbe "a-" bedeutet meist das komplette Gegenteil, also zum Beispiel ist "asoziales Verhalten" eben gerade nicht soziales Verhalten. Somit ist atonal also das Gegenteil zu tonal. Mit tonal ist in der Musik gemeint, dass ein Stück harmonisch ist, also dass - und ich vereinfache hier einmal - die Töne "angenehm klingen".
Atonale Musik kam nach der Epoche der sog. Romantik auf. Romatische (klassische) Musik wird selbst von uns heute als wohlklingend empfunden, findet häufig auch Eingang in moderne Stücke und Filmmusik ist ganz besonders von dieser Stilrichtung geprägt. Das komplette Gegenteil ist die atnoale Musik. Hier hat man Regeln bewusst gebrochen, ist aus dem "Quintenzirkel" ausgebrochen. (Der Quintenzirkel stellt eine Art Ordnung dar, nach der in der westlichen Musik die Tonarten aufeinander folgen und miteinander in Beziehung stehen.) Das hat sich bereits in der Romantik angekündigt, bestimmte Komponisten um den Anfang des 20. Jahrhunderts haben das aber voll ausgereizt.
Ich möchte gar nicht weiter darüber schwadronieren, sondern Dir ein Beispiel aufzeigen, anhand dessen Du sofort verstehen wirst, warum die Musik als atonal bezeichnet wird, also als "gegen die [bis dahin bestehende] harmonische Ordnung", wenn man so will: Igor Stravinskys "Le Sacre du Printemps" ("Das Frühlingsopfer"). Das Stück ist lang und ich würde Dir eine Stelle empfehlen, die eher gegen Ende des Werkes gespielt wird (ab 29:07 min:sec):
http://www.youtube.com/watch?v=5UJOaGIhG7A&t=29m7s
Beispiele für "wohlklingende" klassische/romantische/... Musik findest Du bestimmt selbst: Brahms, Chopin, Beethoven und Konsorten sind typische Vertreter.