Zwei gegebene Funktionen stetig und differenzierbar verbinden( Trassierung)?
Hallöchen, ich schreibe demnächst eine Mathe Klausur,aber habe das oben genannte Thema leider nicht so richtig verstanden. Bei einer Beispiel Aufgabe habe ich die Information
F(x)=3 (für x<O)
H(x)=x-1 (für x>2)
Wie kann ich mit diesen Informationen die passende Funktion ermitteln? Kann mir jemand diese Aufgabe lösen, damit ich nachvollziehen kann wie das geht ?
Mit freundlichen Grüßen
Mausizahn1
3 Antworten
Also hier nochmal als Polynom 3. Grades:
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
F(x)=3, H(x)=x-1, F'(x)=0, H'(x)=1, f'(x)=3ax^2+2bx+c
F(0)=f(0) => 3=d => d=3
H(2)=f(2) => 1=8a+4b+2c+d=8a+4b+2c+3=1
F'(0)=f'(0) => 0=c => c=0
H'(2)=f'(2) => 1=12a+4b+c=12a+4b=1
Wir erhalten also d=3, c=0 und
8a+4b+3=1(I)
12a+4b=1 => b=(1-12a)/4 in (I) einsetzen
8a+(1-12a)+3=1 => 8a -12a +4=1 => -4a=-3 => a =3/4
Dies oben einsetzen b=(1-12*3/4)/4=-2
Wir haben also a=3/4, b=-2, c=0, d=3
Die gesuchte Funktion lautet also:
f(x)=3/4*x^3 -2x^2 + 3, f'(x)=9/4*x^2 - 4x
f(0) = 3, f(2) = 6-8+3=1, f'(0) = 0, f'(2) = 9-8 = 1
Damit siehst du dass die Übergänge an den Stellen x=0 und x=2 stetig sind (da f(0)=F(0) und f(2)=H(2) ist) und auch die Ableitungen dort übereinstimmen.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3%2F4*x%5E3+-2x%5E2+%2B+3
So sieht die fertige Verbindungsfunktion dann aus.
Darf die Übergangsfunktion beliebig sein? Die Cosinus-Funktion würde sich dann doch anbieten. cos(x) hat bei x=0 den Wert 1 und bei cos(Pi) den Wert -1.
Hier brauchen wir aber den Wert 3 und 1. Also könnte man den Cosinus einfach um 2 nach oben schieben, also cos(x)+2.
Der Cosinus von x soll aber bei x=2 -1 sein und nicht bei Pi? Also müssen wir noch den Funktionswert verändern. cos(x*Pi/2) liefert für x=2 den gewünschten Wert.
Also würde die Funktion cos(x*Pi/2)+2 eine differenzierbare und stetige Verbindung liefern. Auch an den Stellen x=0 und x=2 wäre die Funktion auf jedenfalls stetig.
Die Ableitung an der Stelle x wäre von links 0 und auch von recht für cos(x*Pi/2)+2 wäre sie 0. Nur an der Stelle x=2 würde die Funktion nicht differenzierbar sein.
Bin mir jetzt nicht sicher, ob nur der Übergangsbogen stetig und differenzierbar sein soll oder die gesamte Funktion dann. Vielleicht finde ich noch eine bessere Funktion.
Wie? Ihr habt noch nie mit Cosinus gearbeitet? Man könnte ja auch einfach eine Gerade nehmen. Die wäre zwar auch für sich selbst stetig und differenzierbar, liefert dafür aber an beiden Stellen (x=0, x=2) in der Gesamtfunktion undifferenzierbare Stellen.
Die Geradengleichung würde lauten: f(x)=-x+3
https://www.studyhelp.de/online-lernen/mathe/trassierungen/
Okay. Bei der Trassierung verwendest du in der Regel Polynome n-ten Grades, um eine stetig und differenzierbare Verbindung zu schaffen.
Du setzt ganz allgemein ein Polynom n-ten Grades auf: Also f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d zum Beispiel und bestimmst nun mit den Randbedinungen F(0)=f(0), H(2)=f(2), F'(0)=f'(0) und H'(0)=f'(0) die Unbekannten.
Du hast 4 unabhängige Gleichungen für 4 unbekannte Werte (a,b,c,d). Das reicht aus, um diese zu bestimmen.
Also als Ergebnis soll eigentlich g(x)= -9/16x^5+11/4x^4-7/2x^3+3 rauskommen. Ich verstehe aber absolut nicht wie man darauf kommen soll
Ich hab dir nochmal eine separate Antwort geschrieben. Dort findest du die genaue Rechnung.
ich versuchs mal ganz einfach: damit es "stetig" ist, muss es jede Stelle mit "nebenan" verbunden sein. Damit es "differenzierbar" ist, dürfen keine "knicke" drin sein oder anders gesagt, die Ableitung muss an jeder Stelle mit "nebenan" verbunden sein.
Was Du also suchst, ist die Funktion, die an den beiden "Andockpunkten" sowohl den gleichen Wert für die Funktion liefert, wie die Funktionen rechts und links, als auch die gleichen Werte für ihre Ableitung! Bei X=0 muss also der Wert für Y=3 sein und die Ableitung muss 0 sein (flach). Bei X=2 muss der Wert für Y=1 sein und der Wert der Ableitung muss 1 sein.
Die Aufgabe lautet: finde die Funktion, für die das gilt.
Danke, aber das Problem ist wir haben das noch nie mit cosinus oder ähnlichem gemacht, also kann ich damit leider nichts anfangen.