z^3 = 1, Lösungen ohne Polardarstellung bestimmen?
Wie kann ich die z in C bestimmen, die die Gleichung lösen, ohne die Polardarstellung komplexer Zahlen zu verwenden ?
1 Antwort
Hallo,
eine Nullstelle ist ja klar: z=1.
Um die Gleichung z³-1=0 zu lösen, teilst Du sie nun durch (z-1).
Ergebnis ist eine quadratische Gleichung, die Du mit der pq-Formel lösen kannst.
Da unter der Wurzel nun eine negative Zahl erscheint, wandelst Du sie in eine positive um und setzt gleichzeitig i zum Ausgleich als Faktpr vor die Wurzel.
So bekommst Du die beiden konjugiert komplexen Wurzeln.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Polynomdivision, die hier benutzt wurde, lernt man so in der elften Klasse. Der Umgang mit komplexen Zahlen wird jedoch meistens erst im Studium gelehrt.
die vorgehensweise ist klar, danke für die erklärung. Aber wie man darauf kommt nicht ganz: Warum dividiere ich durch z-1 und nicht beispielsweise durch z+1 ?
Weil Du durch z minus Nullstelle dividieren mußt und -1 keine Nullstelle ist.
Jedes Polynom n. Grades läßt sich in die Form a*(x-Nullstelle 1)*(x-Nullstelle 2)*...*(x-Nullstelle n) bringen, wobei die Nullstellen auch komplex sein können.
Indem Du durch (x-Nullstelle) teilst, reduzierst Du das Polynom um einen Grad.
In welcher Stufe lernt man das?
LG