Wie zeigt man, dass eine Abbildung ein Skalarprodukt ist?
Hallo, ich habe die folgende Übungsaufgabe:
Nur weiß ich überhaupt nicht wie ich dort rangehen soll, könnte Jemand helfen?
3 Antworten
Du musst lediglich die Eigenschaften des Skalarproduktes nachweisen:
1.) Bilinearität
2.) Symmetrie
Zu 1.) folgt:
< a + b , c > = (a1 + b1)*c1 + 2*(a2 + b2)*c2 - ...
= a1*c1 + b1*c1 + 2*a2*c2 + 2*b2*c2 - ...
= <a, c> + <b, c> (Linearität im ersten Argument)
Weiter zeigt man auf gleiche Weise:
<a*b,c> = a*<b,c> (Linearität im ersten Argument)
und aufgrund der Kommutativität des Produktes (a*b = b*a) folgt durch Vertauschen der Reihenfolge der einzelnen Faktoren der Summanden 2.)
<a,b> = <b,a> (Symmetrie)
und damit folgt schließlich mit obigem auch final
<a*b + c, d*e + f> = a*<b, d*e + f> + <c, d*e + f>
= a*d*<b,e> + a*<b,f> + d*<c,e> + <c, f>
also die Bilinearität (die Linearität in beiden Argumenten ).
Es handelt sich also insgesamt um ein Skalarprodukt.
Du musst ja im Wesentlichen einfach die Bilinearität zeigen.
Wenn du die Einträge der A-Matrix mit einem Faktor multiplizierst, taucht der auf der rechten Seite in jedem Summanden genau einmal auf, du kannst ihn also quasi ausklammern.
Wenn die A-Matrix eine Summe ist, steht rechts überall wo ein a vorkommt eine Summe, die du dann ausmultiplizieren und umordnen kannst.
Damit hast es dann ja gezeigt.
Ihr habt den Begriff Skalarprodukt definiert? Dann sind dort möglicherweise verschiedene Kriterien genannt. Die musst Du einzeln für die gegebene Definition überprüfen. Sie müssen alle erfüllt sein, damit die gegebene Verknüpfung ein SP ist.
und dies dann ordnen nur scheint es nicht zu bringen.
w1(a1+b1) + 2w2(a2+b2) - w3(a2+b2) - w2(a3+b3) + 2w3(a3+b3)
Wenn ich auf Linearität (was bei Skalarprodukten immer so eine Sache ist) überprüfen müsste, wüsste ich sofort, wie ich rangehen soll, nur hier, keine Ahnung. Versuche es schon 2 h lang, tauigerweise
Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Ja, ja es gibt Kriterien, nur finde ich es schwierig diese zu zeigen, z.B
(u+v,w)= (u,w)+(v,w) mit u, v, w ∈ V
Also ich weiß nicht wie ich damit umgehen soll.
Klar ich könnte nun einfach schreiben:
(u,w)+(v,w) =
(a1w1 + 2a2w2 − a2w3 − a3w2 + 2a3w3 ) +
(b1w1 + 2b2w2 − b2w3 − b3w2 + 2b3w3 )
und dies dann ordenen nur scheint es nicht zu birngen