Wie löse ich diese Impuls Aufgabe?
Paul sitzt mit einem Haufen Steine in einem Boot und hat die Ruder vergessen, Da fängt er an, die Steine nach hinten aus dem Boot zu werden. Erkläre mithilfe des Impulses, ob er das Boot so antreiben kann.
1 Antwort
Aha, eine Physik Aufgabe. Eine Hausaufgabe, wie es scheint. Wir sind hier nicht dazu da, Hausaufgaben zu erledigen, jedoch sehe ich ein, dass es schwer ist, das Ganze zu erklären, ohne die Hausaufgabe schon bearbeitet zu haben. Bitte lese dir also meine Antwort durch und denke darüber nach.
So, schauen wir uns erstmal an, was ein Impuls denn überhaupt ist: Der Impuls ist eine physikalische Größe, die die Bewegung eines Körpers beschreibt. Der Impuls hängt von der Masse, der Richtung und der Geschwindigkeit des Körpers ab. Der Impuls kann mit der Formel p = m * v berechnet werden, wobei p der Impuls, m die Masse und v die Geschwindigkeit ist.
Der Grund, weshalb sich das Boot bewegt, wenn Paul die Steine nach hinten raus schmeißt, ist eigentlich recht simpel. Wenn er den Stein für seinen Wurf beschleunigt, übt er eine Kraft auf den Stein aus. Wir erinnern uns aber nun an Newtons drittes Gesetz - denn dieses besagt, dass jede Ursache eine Wirkung hat. Wenn Paul also den Stein nach hinten schmeißt, schmeißt der Stein Paul nach vorne. Weil der Stein aber recht leicht ist, Paul jedoch nicht, kann Paul den Stein viel mehr beschleunigen, als der Stein im Gegenzug Paul.
Woran liegt das? Nun, die Formel für die Kraft ist f = m * a. Stellen wir jetzt diese Formel nach a um, so erhalten wir a = f / m. f bleibt immer gleich, daher ist das eine Konstante für uns in diesem Beispiel, m jedoch nicht, weil, wie gesagt, der Stein und Paul sind verschieden schwer. Wir sehen nun also, a und m stehen in einem antiproportionalen Zusammenhang. Das bedeutet, dass wenn eins davon größer wird, wird das andere kleiner. Das bedeutet, wenn wir die selbe Kraft aufwenden, so erfährt der leichtere Stein, bei dem m kleiner ist, eine höhere Beschleunigung, also a ist recht groß. Bei Paul und seinem Boot sieht das anders aus, denn m ist viel größer, dementsprechend muss a viel kleiner sein.
Da genau dieses a nun aber verantwortlich dafür ist, dass das Boot sich bewegt, haben wir das Problem, dass das Boot kaum forwards kommt. Die Beschleunigung, welche das Boot erfährt, wird dann auch noch durch den Wasserwiderstand gebremst, weshalb Paul sich soeben eine sehr ineffiziente Art der Fortbewegung geschaffen hat.
Wir sehen also, dank Newtons drittem Gesetz führt das Werfen führt das Werfen des Steines dazu, dass sowohl der Stein als auch Paul und somit das Boot, da er da ja drinnen steht, einen Impuls haben. Wir ziehen nun eine weitere Formel her:
Δp = f * t, also die Veränderung des Impulses ist gleich der Stoßkraft, welche durch den Wurf auf den Stein und Paul wirkt mal die Zeit, in welcher das ganze wirkt. Da wir ja festgelegt haben, dass die Kraft, welche auf beide wirkt, gleich groß sein muss und die Zeit logischerweise auch gleich ist, besitzen Paul und der Stein den gleichen Impuls. Aber jetzt hatten wir doch oben noch eine weitere Formel:
p = m * v. Aha. Wenn wir das jetzt nach v umstellen, erhalten wir doch die Geschwindigkeit des Steines und des Bootes. Hervorragend. Tun wir das, so kommt heraus, dass v = p / m. Uh oh, p ist wieder eine Konstante und v ist antiproportional zu m. Da Paul mit seinem Boot wieder sehr schwer ist, bedeutet das, dass v einen sehr niedrigen Wert annimmt. Paul und sein Boot bewegen sich also sehr langsam.
Dementsprechend: Ja, es ist möglich, dass Paul sich mit seinem Boot auf diese Weise fortbewegt und das Ganze würde auch irgendwann schneller werden, da das Boot ja leichter wird, wenn er die Steine wirft. Aber: er bewegt sich langsam, das Ganze wird sehr schnell ermüdend und allgemein ist das einfach eine schlechte Idee, weil es so unfassbar ineffizient ist.
Als Kontext: Das Space Shuttle Triebwerk wirft pro Sekunde etwa 511kg hinten aus. Bei Paul schätzen wir einfach mal eine Wurfrate von einem Stein alle vier Sekunden, also 0,25 Steine Pro Sekunde. Wenn ein Stein 500 Gramm wiegt, wirft er 0,125 kg pro Sekunde nach hinten. Hierbei handelt es sich also um den Faktor 4 000.
Beim Gewicht handelt es sich um einen Faktor von etwa 1 000. Somit bedeutet dass, dass das Space Shuttle 4 000 Mal so viel hinten auswirft wie Paul von der Masse her. Wenn wir Faktoren in unsere Gleichung einsetzen, erhalten wir einen Faktor als Ergebnis. Daher können wir also sagen f = m*a = 2 000*a. A ist beim Space Shuttle auch viel höher, da es keine Steine mit menschlicher Hand wirft, sondern mit Explosion und so arbeitet. Die Austrittsgeschwindigkeit der Haupttriebwerke des Space Shuttles liegt bei etwa 4500 m/s, bei Paul mit seinem Stein aber bei nur schätzungsweise 10 m/s. Dabei handelt es sich um einen Umrechnugsfaktor von 450. Daher: f = 2 000 * 450 = 900 000. Das Space Shuttle erfährt also durch das Auswerfen des Treibstoffes 900 000 mal so viel Kraft wie Paul und sein Boot.
Wenn wir das nun einsetzen mit den Massenunterscheiden bedeutet das gemäß unserer umgestellten Formel a = f / m, wobei a der Faktor zwischen Space Shuttle und Paul ist a = 900 000 / 1 000 = 900. Die kommt Zustande, da das Space Shuttle 1000 mal so schwer ist wie unser Boot und 900 000 mal so viel Kraft hat, um sich nach vorne zu bewegen. Laut diesen Berechnungen kann das Space Shuttle mit seinen Haupttriebwerken 900 mal besser beschleunigen als Paul mit seiner Steinwurftechnik - zu sagen, dass Paul also 1000 mal ineffizienter als das Space Shuttle ist, wäre also in etwa korrekt.
Wie jeder gute Physiker müssen wir unsere Ergebnisse natürlich nicht verifizieren. Wenn ein Space Shuttle mit seinem Haupttriebwerk a(Shuttle) = 20 m/s^2 erreicht (was schon optimistisch ist, da es sich hier um das Ende des Aufstiegs handelt), dann ist a (Boot_mit_Paul) = a(Shuttle) / 900 = 0,022 m/s^2. Wenn wir uns jetzt überlegen, dass er das für zwei Minuten Macht, dann haben wir v = a * t = 0,022m/s^2 * 120s = 2,64 m/s, also etwa 9,504 km/h, wobei ihm dann langsam die Steine ausgingen, vor allem, wenn wir mit einem doch recht optimistischen Wert von zwei Steinen pro Sekunde rechnen.
Natürlich gebe ich auf diese Ergebnisse keine Gewähr, ich denke aber, das sieht alles richtig aus.