Wie ist der Ansatz der Matheaufgabe?
Gegeben ist: Die von Bakterienkultur überdeckte Fläche wächst pro tag um ca. 10%. zu beginn der messung ist die fläche etwas 5cm^2 groß. d.h. f(x)=5e^ln(1,1)x
nun lautet die aufgabe: bestimmen sie, wann die momentane änderungsrate erstmals 10cm^2 pro Woche beträgt.
Mein Ansatz: f'(x)=5ln(1,1)e^ln(1,1)*x f'(x)=10/7 ....(weitere Rechnungen) x=11,5188 Das heißt doch das ab dem 11,5188 Tag die Änderungsrate pro Woche 10cm^2 beträgt oder ist mein Ansatz an sich falsch?
1 Antwort
Hallo,
mein Ansatz:
5*1,1^t+10=5*1,1^(x+1)=5*1,1^t*1,1
Wenn der Algenbewuchs wöchentlich um 10 % zunimmt, hast Du einen Wachstumsfaktor von 1+10/100=1,1
Nach einer Woche also 5*1,1, nach zwei Wochen 5*1,1*1,1=5*1,1² usw.
Also lösen wir die Gleichung 5*1,1^t+10=5*1,1^t*1,1 nach t auf:
5*1,1^t*1,1-5*1,1^t=10
5*1,1^t*(1,1-1)=10
1,1^t*0,1=2
1,1^t=20
ln (1,1^t)=ln (20)
t*ln (1,1)=ln (20)
t=ln (20)/ln (1,1)=31,43139883
Probe:
5*1,1^31,43139883=100
Eine Woche drauf sind es dann 100*1,1=110.
Die Änderung beläuft sich demnach auf 10 cm².
Herzliche Grüße,
Willy
Zweiter Versuch:
Eine Woche hat sieben Tage.
Bedecken die Algen zu Beginn 5 cm², so sind es nach einer Woche 5*1,1^7=9,7435855 cm²
Das geteilt durch 5 ergibt den wöchentlichen Wachstumsfaktor, nämlich 1,9487171
Nun steht t für eine Woche und es muß gelten:
5*1,9487171^t+10=5*1,9487171^t*1,9487171
5*1,9487171^t*1,9487171-5*1,9487171=10
1,9487171^t*(1,9487171-1)=2
1,9487171^t=2/0,9487171=2,108109994
t*ln (1,9487171)=ln (2,108109994)
t=ln (2,108109994)/ln (1,9487171)=1,117841632
In Tage umgerechnet, also mal sieben ergibt das etwa 7,8, also 8 Tage. Eine Woche später, also nach 15 Tagen, wären die Algen verglichen mit dem 8. Tag um etwa 10 cm² gewachsen.
Willy
Nein, Du lagst richtig.
Zunächst wird die wöchentliche Änderungsrate berechnet:
1,9487171=A (der Einfachheit halber)
So bekommst Du die Funktion für das Algenwachstum in t Wochen:
f(t)=5*A^t=5*e^(t*ln(A))
f'(t)=5*e^(t*ln (A))*ln (A).(Kettenregel)
Da e^(t*ln (A))=A^t:
f'(t)=5*A^t*ln (A)=10
A^t=2/ln (A)
t*ln (A)=ln (2/ln (A))=ln (2,997731054), da A=1,9487171
t=ln (2,997731054)/ln (1,9487171)=1,645538043
Multipliziert mit 7 ergibt das genau Dein Ergebnis: 11,5187663 Tage.
Willy
Hab mich vertan. Das Wachstum um das 1,1fache bezieht sich auf das tägliche Wachstum, die Änderungsrate auf das wöchentliche Wachstum.
Dann stimmt mein Ergebnis natürlich nicht.