Wie faktorisiert man einen bruchterm, bzw formt ihn in den Summenterm um?

Hallo, ich übe für eine Klausur und habe folgende Frage: wenn ich eine gebrochenrationale Funktion habe, kann diese als ein Bruchterm, ein faktorisierter Bruchterm oder als ein Summenterm gegeben sein, wie wandel ich die Terme ineinander um? als beispiel habe ich f(x)= 1-(2x/x^2+1)

Answer 1

[stekum]

Was da steht, könnte man als Summenterm bezeichnen, auch wenn es eine Differenz ist, denn a - b = a + (- b) ist auch eine Summe. Nach Umformen auf (x² - 2x + 1) / (x² + 1) oder auch (x - 1)² / (x² + 1) ist es ein Bruch, und mit (x - 1) (x - 1) / (x² + 1) ein faktorisierter Bruch (denke ich) und mit (x - 1) mal (x - 1) / (x² + 1) ein Produkt.

Answer 2

[Ellejolka]

auf Hauptnenner bringen; → (x²+1-2x)/(x²+1) = (x-1)²/(x²+1)

Comments

[Kultivierende]

dankeschön (: und wie forme ich das jetzt in den summenterm?

[Ellejolka]

@Kultivierende

ich denke das lässt man so.

[Kultivierende]

@Kultivierende

ist das erste der summenterm?

[Ellejolka]

@Kultivierende

ja, eher

Answer 3

[psychironiker]

Summenterm → Bruchterm: Durch Erweiterung des Summanden zu einem Bruch (elementares Bruchrechnen, so wie bei Nicht-Funktionstermen auch: )

1 - 2x / (x² +1) =

...was wohl gemeint war; "1-(2x/x^2+1)" = -2x/x^2 (nach Auflösen der Klammer) ist etwas anderes.

(x² +1) / (x² + 1) - 2x / (x2 +1) =

(x² -2x +1) / (x² +1) =

(x-1)² / (x² +1);

. . .

Bruchterm → Summenterm:

Polynomdivision

. . .

Bruchterm → faktorisierter Bruchterm:

Nullstellen x1, x2, ... xn der Zähler (bzw. Nenner-) Funktion finden (für n > 2 ist das schwierig, wenn die Nullstelle kein ganzzahliger Teiler des Absolutgliedes der Funktion ist, für n > 4 ist es schon theoretisch für den allgemeinen Fall nur noch mit Näherungsverfahren möglich).

Dann hat die Zähler- (bzw. Nenner-) Funktion die Form

a(x - x1)(x - x2) ... (x - xn),

wobei der Leitkoeffizient a eine bel. von null verschiedene Zahl sein kann.

. . .

faktorisierter Bruchterm → Bruchterm:

ausmultliplizieren

. . .

Summenterm ↔ faktorisierter Bruchterm

In beide Richtungen über den (nicht faktorisierten) Bruchterm.

Comments

[Kultivierende]

Dankeschön :))

[stekum]

Raffinierte Überlegung von psychoironiker am Anfang: Meinte Kultivierende 1 - 2x : (x² + 1) oder 1 - (2x : x² + 1) wie es da ja steht? Bei Letzterem kommt - 2 / x raus, deswegen WC (wohl caum)