Wie beweise ich die folgenden Aussagen rechnerisch?
a) Eine quadratische Polynomfunktion kann keine Wendepunkte haben.
b) Eine Polynomfunktion vierten Grades hat maximal zwei Wendepunkte.
c) Eine Polynomfunktion dritten Grades hat stets genau eine Wendestelle.
Berechnen kann ich Wendepunkte zwar, aber wie beweise ich eine maximale Anzahl etc.? Mir fehlt da ein Ansatz, wie ich rangehen muss.
1 Antwort
verwende:
(1) Notwendiges Kriterium für Wendepunkt: f '' = 0
(2) Hinreichendes Kriterium für Wendepunkt: f '' = 0 und f ''' ≠ 0
a) f '' ≠ 0 somit notwendiges Kriterium für Wendepunkt nicht erfüllt
denn f(x) = ax² + bx + c dann f '(x) = 2ax + b und f ''(x) = 2a ≠ 0
b) f '' ist quadratische Polynomfunktion, somit hat die Gleichung f'' = 0 maximal 2 Lösungen
c) f '' ist lineare Funktion der Form f '' = mx + n , somit hat f ''= 0 nur eine Lösung, und f ''' ≠ 0, weil f ''' = m