Wie berechnet man den Berührungspunkt zweier Funktionen und die gemeinsame Tangente?
Es sind folgende Gleichungen gegeben: f(x)=x^3+1 und g(x)=x^2+x Die Aufgabe lautet: Zeigen sie das sich f(x) und g(x) in einem Punkt berühren und geben Sie die gemeinsame Tangente an.
Ich bin wie folgt vorgegangen: ich habe die beiden Funktionen f(x) und g(x) erstmal gleichgesetzt. Als Ergebnis kamen mir jedoch 2 verschiedene Werte heraus, -1 und 1. was genau muss ich mit diesen Werten jetzt anfangen? Ich bitte um einen komplett nachvollziehbaren Lösungsweg. Danke.
1 Antwort
Ein Berührpunkt ist wie folgt definiert :
f ( x ) = g ( x ) und f ´( x ) = g ´( x )
Das gilt nur für x=1.
An dieser Stelle hat die Tangente t(x) die Steigung g'(x) = 2x+1 = 3.
Ausserdem gilt t(1) = 2
Die Tangente hat also die Gleichung
t ( x ) = 3 * x + b
t ( 1 ) = 3 * 1 + b = 2
3 + b = 2
b = -1
t ( x ) = 3 * x - 1
f(x)=g(x) gilt für x=-1 und x=+1 aber
f'(x)=g'(x) (3x^2=2x+1) gilt nur noch für x=+1
Für einen Berührpunkt müssen beide Bedingungen erfüllt sein.
Vielen Dank! Aber warum gilt es nur für x=1 ? Muss ich mit der -1 denn nichts mehr rechnen? Und wo genau liegt der Berührungspunkt?