Wie berechnet man das? (Fakultät )?
Guten Abend,
hier muss man eine Summe von Fakultäten und einem zusätzlichen Koeffizienten berechnen. Wie macht man das?
Danke im Voraus
2 Antworten
Hallo,
die Summenformel lautet sn=(n+1)!-1, in diesem Fall wäre das Ergebnis daher 2022!-1.
Auf die Summenformel kommst Du, wenn Du Dir die ersten Glieder der Reihe einmal ansiehst: 1; 5; 23; 119, 719, 5039 usw.
Damit verglichen die Fakultäten ab 2!:
2; 6; 24; 120; 720; 5040 usw.
Beweis über vollständige Induktion:
1!*1=(1+1)!-1=2-1=1.
Der Induktionsanfang ist gezeigt.
Nun gilt es zu zeigen, daß unter der Induktionsvoraussetzung SUMME (k=1 bis n):
k!*k=(n+1)!-1 gilt:
SUMME (k=1 bis n+1):k!*k=(n+2)!-1.
Laut Induktionsvoraussetzung ist die Summe von k=1 bis n das Gleiche wie (n+1)!-1. Lasse ich die Summe anstatt bis n bis n+1 laufen, kommt als nächstes Summenglied der Term (n+1)!*(n+1) dazu.
Es muß also gelten: (n+1)!-1+(n+1)!*(n+1)=(n+2)!-1.
Ausklammern von (n+1)! auf der linken Seite ergibt:
(n+1)!*(1+n+1)-1.
Das ist gleich (n+1)!*(n+2)-1=(n+2)!-1.
Genau das aber war zu zeigen.
Herzliche Grüße,
Willy
Eher nicht, da ich ziemlich schnell auch so auf die Summenformel gekommen bin. Hat man erst mal die Vermutung, wie sie aussieht, ist der Beweis einfach.
Aber wenn Du den Tipp gewinnbringend umsetzen möchtest:
n=(n+1)-1.
Dann ist n!*n=n!*[(n+1)-1]=(n+1)!-n!.
1!*1 ist also 2!-1!, 2!*2 ist 3!-2!, 3!*3 ist 4!-3! usw.
Bilde jetzt mal die Summe von 1!*1 bis 3!*3, also von 2!-1! bis 4!-3!:
2!-1!+3!-2!+4!-3!
Merkst Du was? Bis auf die höchste Fakultät, nämlich die von 4, und die kleinste, nämlich die von 1, heben sich alle anderen Fakultäten auf. So etwas nennt man eine Teleskopsumme.
Ziehst Du das jetzt von 1!*1 bis n!*n durch, bleibt von der ganzen Summe (n+1)!-1!=(n+1)!-1 übrig. So kannst Du auch auf die Summenformel kommen, wenn Du das Muster der Reihenwerte nicht erkannt haben solltest.
Diese Addition von 0, also die Änderung eines Terms durch Addition und sofortige Subtraktion einer Zahl wie der 1 ist ein Trick, der bei vielen Beweisen eine wichtige Rolle spielt. In der Schule habt Ihr den bei der quadratischen Ergänzung kennengelernt, bei der ein Binom vervollständigt wird. Solche Kunstgriffe solltest Du Dir gut merken. Du wirst sie - falls Du Mathematik studierst und viel mit Beweisen zu tun hast - sehr gut gebrauchen können.
Vielen Dank dass Sie sich so viel Zeit nehmen, es mir zu erklären, ich schätze es wirklich sehr. Bestimmt werde ich Ihren Tipp auch in Zukunft verwenden können, da ich mich in meiner Freizeit viel mit Mathematik beschäftige. Schönen Abend noch
den Stern bekommen Sie sobald ich ihn aussenden kann
Ich würde das ganze als Summe schreiben und den Tipp verwenden Die Summe wird dann aber wirklich groß. Laut Wolfram Alpha ungefähr
Vielen Dank für Ihre umfangreiche Antwort. Haben Sie den Tipp verwendet, oder nicht?